Номер 411, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 2. Квадратные корни - номер 411, страница 112.

Условие.

411 Из клинописных табличек, найденных при раскопках, известен способ извлечения квадратных корней, которым пользовались древние вавилоняне ещё за две тысячи лет до н. э. На современном математическом языке он может быть описан с помощью такого приближённого равенства:

$\sqrt{c} = \sqrt{a^2 + b} \approx a + \frac{b}{2a}$

Например, $\sqrt{28} = \sqrt{25 + 3} \approx 5 + \frac{3}{2 \cdot 5} = 5,3$. (С помощью калькулятора мы получили бы, что $\sqrt{28} \approx 5,29$.)

Пользуясь указанной приближённой формулой, найдите $\sqrt{39}$, $\sqrt{85}$. Сравните ответ с числом, полученным с помощью калькулятора.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся вавилонской формулой приближенного извлечения квадратного корня: $\sqrt{c} = \sqrt{a^2+b} \approx a + \frac{b}{2a}$, где $a^2$ — это наибольший точный квадрат, не превосходящий $c$.

$\sqrt{39}$. Найдем приближенное значение для $\sqrt{39}$. Наибольший точный квадрат, который меньше 39, — это 36. Таким образом, мы можем представить $39$ как $36 + 3$. В данном случае $a^2 = 36$, значит $a=6$, а $b=3$. Подставим эти значения в формулу: $\sqrt{39} = \sqrt{36+3} \approx 6 + \frac{3}{2 \cdot 6} = 6 + \frac{3}{12} = 6 + \frac{1}{4} = 6,25$. Сравним полученный результат со значением, вычисленным на калькуляторе: $\sqrt{39} \approx 6,245$. Разница между значениями составляет всего $6,25 - 6,245 = 0,005$.
Ответ: по формуле $\sqrt{39} \approx 6,25$; значение на калькуляторе $\sqrt{39} \approx 6,245$.

$\sqrt{85}$. Найдем приближенное значение для $\sqrt{85}$. Наибольший точный квадрат, который меньше 85, — это 81. Таким образом, мы можем представить $85$ как $81 + 4$. В данном случае $a^2 = 81$, значит $a=9$, а $b=4$. Подставим эти значения в формулу: $\sqrt{85} = \sqrt{81+4} \approx 9 + \frac{4}{2 \cdot 9} = 9 + \frac{4}{18} = 9 + \frac{2}{9}$. Преобразуем дробь в десятичную: $\frac{2}{9} \approx 0,222$. Следовательно, $\sqrt{85} \approx 9,222$. Сравним полученный результат со значением, вычисленным на калькуляторе: $\sqrt{85} \approx 9,220$. Разница между значениями составляет всего $9,222 - 9,220 = 0,002$.
Ответ: по формуле $\sqrt{85} \approx 9,222$; значение на калькуляторе $\sqrt{85} \approx 9,220$.