Номер 406, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 406, страница 111.

Условие.

406 Формула, рассмотренная в предыдущем задании, представляет интерес, если выражение $a^2 - b^2c$ является квадратом натурального числа. Примените эту формулу для упрощения выражения:

а) $\sqrt{12+2\sqrt{11}}$;

б) $\sqrt{57+12\sqrt{15}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

В задании требуется применить формулу для упрощения выражений с вложенными корнями. Формула, о которой идет речь, — это формула преобразования сложных радикалов. Она имеет вид:

$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$

Эта формула особенно удобна, когда выражение под внутренним корнем $A^2-B$ является полным квадратом, как указано в условии задачи. Для выражений вида $\sqrt{a \pm b\sqrt{c}}$ мы можем привести их к форме $\sqrt{a \pm \sqrt{b^2c}}$, где $A=a$ и $B=b^2c$. Таким образом, условие сводится к проверке, является ли $a^2-b^2c$ полным квадратом.

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{12+2\sqrt{11}}$.

В данном случае $a=12$, $b=2$, $c=11$. Проверим, является ли выражение $a^2-b^2c$ квадратом натурального числа:

$a^2-b^2c = 12^2 - 2^2 \cdot 11 = 144 - 4 \cdot 11 = 144 - 44 = 100$.

Поскольку $100 = 10^2$, условие выполняется. Теперь применим формулу сложных радикалов, представив выражение в виде $\sqrt{12+\sqrt{4 \cdot 11}} = \sqrt{12+\sqrt{44}}$. Здесь $A=12$, $B=44$.

$\sqrt{12+\sqrt{44}} = \sqrt{\frac{12+\sqrt{12^2-44}}{2}} + \sqrt{\frac{12-\sqrt{12^2-44}}{2}} = \sqrt{\frac{12+\sqrt{100}}{2}} + \sqrt{\frac{12-\sqrt{100}}{2}}$

Подставляем значение $\sqrt{100}=10$:

$\sqrt{\frac{12+10}{2}} + \sqrt{\frac{12-10}{2}} = \sqrt{\frac{22}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{11} + \sqrt{1} = \sqrt{11} + 1$.

Ответ: $1+\sqrt{11}$.

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{57+12\sqrt{15}}$.

Здесь $a=57$, $b=12$, $c=15$. Проверим условие:

$a^2-b^2c = 57^2 - 12^2 \cdot 15 = 3249 - 144 \cdot 15 = 3249 - 2160 = 1089$.

Проверим, является ли $1089$ полным квадратом. $30^2=900$, $33^2 = (30+3)^2 = 900+180+9=1089$. Да, $1089=33^2$.

Применим формулу, представив выражение в виде $\sqrt{57+\sqrt{144 \cdot 15}} = \sqrt{57+\sqrt{2160}}$. Здесь $A=57$, $B=2160$.

$\sqrt{57+\sqrt{2160}} = \sqrt{\frac{57+\sqrt{57^2-2160}}{2}} + \sqrt{\frac{57-\sqrt{57^2-2160}}{2}} = \sqrt{\frac{57+\sqrt{1089}}{2}} + \sqrt{\frac{57-\sqrt{1089}}{2}}$

Подставляем значение $\sqrt{1089}=33$:

$\sqrt{\frac{57+33}{2}} + \sqrt{\frac{57-33}{2}} = \sqrt{\frac{90}{2}} + \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{45} + \sqrt{12}$.

Упростим полученные корни:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

Следовательно, итоговое выражение равно $3\sqrt{5} + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{5}+2\sqrt{3}$.