Номер 402, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2022
Цвет обложки: белый, бирюзовый, оранжевый
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 402, страница 111.
№402 (с. 111)
Условие. №402 (с. 111)
скриншот условия

Упростите выражение (402–404).
402 а) $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$; б) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$.
Решение 1. №402 (с. 111)


Решение 2. №402 (с. 111)

Решение 3. №402 (с. 111)

Решение 4. №402 (с. 111)
а)
Чтобы упростить выражение $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$, нужно представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, для которых выполняются два условия:
1) $a^2 + b^2 = 27$
2) $2ab = 10\sqrt{2}$
Из второго уравнения находим, что $ab = 5\sqrt{2}$. Можно предположить, что $a=5$ и $b=\sqrt{2}$.
Подставим эти значения в первое уравнение, чтобы проверить наше предположение:
$a^2 + b^2 = 5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25 + 2 = 27$.
Условие выполняется. Следовательно, подкоренное выражение можно записать в виде полного квадрата:
$27 + 10\sqrt{2} = (5 + \sqrt{2})^2$.
Теперь вернемся к исходному выражению и извлечем корень:
$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = |5 + \sqrt{2}|$.
Так как $5 + \sqrt{2}$ является положительным числом, модуль можно опустить.
$\sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = 5 + \sqrt{2}$.
Ответ: $5 + \sqrt{2}$
б)
Для упрощения выражения $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$ поступим аналогично: представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Нам нужно найти такие $a$ и $b$, чтобы выполнялись условия:
1) $a^2 + b^2 = 9$
2) $2ab = 4\sqrt{5}$
Из второго уравнения получаем, что $ab = 2\sqrt{5}$. Предположим, что $a=2$ и $b=\sqrt{5}$.
Проверим первое условие, подставив наши значения $a$ и $b$:
$a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$.
Условие выполняется. Значит, подкоренное выражение можно представить в виде:
$9 + 4\sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2$.
Теперь извлечем корень из этого выражения:
$\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = |2 + \sqrt{5}|$.
Так как $2 + \sqrt{5}$ — положительное число, модуль можно убрать.
$\sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = 2 + \sqrt{5}$.
Ответ: $2 + \sqrt{5}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 402 расположенного на странице 111 к учебнику 2019 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №402 (с. 111), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.