Номер 402, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 402, страница 111.

Условие.

Упростите выражение (402–404).

402 а) $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$; б) $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{27 + 10\sqrt{2}}$, нужно представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие $a$ и $b$, для которых выполняются два условия:

1) $a^2 + b^2 = 27$

2) $2ab = 10\sqrt{2}$

Из второго уравнения находим, что $ab = 5\sqrt{2}$. Можно предположить, что $a=5$ и $b=\sqrt{2}$.

Подставим эти значения в первое уравнение, чтобы проверить наше предположение:

$a^2 + b^2 = 5^2 + (\sqrt{2})^2 = 25 + 2 = 27$.

Условие выполняется. Следовательно, подкоренное выражение можно записать в виде полного квадрата:

$27 + 10\sqrt{2} = (5 + \sqrt{2})^2$.

Теперь вернемся к исходному выражению и извлечем корень:

$\sqrt{27 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = |5 + \sqrt{2}|$.

Так как $5 + \sqrt{2}$ является положительным числом, модуль можно опустить.

$\sqrt{(5 + \sqrt{2})^2} = 5 + \sqrt{2}$.

Ответ: $5 + \sqrt{2}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$ поступим аналогично: представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Нам нужно найти такие $a$ и $b$, чтобы выполнялись условия:

1) $a^2 + b^2 = 9$

2) $2ab = 4\sqrt{5}$

Из второго уравнения получаем, что $ab = 2\sqrt{5}$. Предположим, что $a=2$ и $b=\sqrt{5}$.

Проверим первое условие, подставив наши значения $a$ и $b$:

$a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$.

Условие выполняется. Значит, подкоренное выражение можно представить в виде:

$9 + 4\sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2$.

Теперь извлечем корень из этого выражения:

$\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = |2 + \sqrt{5}|$.

Так как $2 + \sqrt{5}$ — положительное число, модуль можно убрать.

$\sqrt{(2 + \sqrt{5})^2} = 2 + \sqrt{5}$.

Ответ: $2 + \sqrt{5}$