Номер 401, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Кубический корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 401, страница 109.

Условие.

401 Исследуем

1) Заполните таблицу:

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3

$\sqrt{x}$

$\sqrt[3]{x}$

2) Постройте в одной и той же системе координат на промежутке $\[0; 3\]$ графики зависимостей $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt[3]{x}$ (за единичный отрезок примите 10 клеток).

3) Сравните $\sqrt{x}$ и $\sqrt[3]{x}$ при $x = 0$; $x = 1$; $x > 1$; $0 < x < 1$.

4) Выпишите в порядке возрастания числа:

$\sqrt{7,4}$; $\sqrt{10}$; $\sqrt{0,96}$; $\sqrt{0,51}$; $\sqrt[3]{7,4}$; $\sqrt[3]{5,1}$; $\sqrt[3]{0,96}$; $1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Заполните таблицу:

Для заполнения таблицы необходимо вычислить значения квадратного корня ($\sqrt{x}$) и кубического корня ($\sqrt[3]{x}$) для каждого заданного значения $x$. Для удобства последующего построения графиков, значения округлим до двух знаков после запятой.

• При $x=0$: $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt[3]{0} = 0$
• При $x=0.2$: $\sqrt{0.2} \approx 0.45$, $\sqrt[3]{0.2} \approx 0.58$
• При $x=0.4$: $\sqrt{0.4} \approx 0.63$, $\sqrt[3]{0.4} \approx 0.74$
• При $x=0.6$: $\sqrt{0.6} \approx 0.77$, $\sqrt[3]{0.6} \approx 0.84$
• При $x=0.8$: $\sqrt{0.8} \approx 0.89$, $\sqrt[3]{0.8} \approx 0.93$
• При $x=1$: $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt[3]{1} = 1$
• При $x=2$: $\sqrt{2} \approx 1.41$, $\sqrt[3]{2} \approx 1.26$
• При $x=3$: $\sqrt{3} \approx 1.73$, $\sqrt[3]{3} \approx 1.44$

Итоговая таблица:

$x$	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	2	3
$\sqrt{x}$	0	0,45	0,63	0,77	0,89	1	1,41	1,73
$\sqrt[3]{x}$	0	0,58	0,74	0,84	0,93	1	1,26	1,44

Ответ: Таблица заполнена выше.

2) Постройте в одной и той же системе координат на промежутке [0; 3] графики зависимостей $y = \sqrt{x}$ и $y = \sqrt[3]{x}$ (за единичный отрезок примите 10 клеток).

Для построения графиков выполним следующие шаги:

1. Начертим оси координат $Ox$ и $Oy$.
2. Выберем масштаб в соответствии с условием: 1 единичный отрезок = 10 клеток. На оси $Ox$ отметим точки 1, 2, 3 на расстоянии 10, 20 и 30 клеток от начала координат соответственно. Аналогично разметим ось $Oy$.
3. Используя данные из таблицы, отметим точки для графика $y = \sqrt{x}$: $(0; 0)$, $(0.2; 0.45)$, $(0.4; 0.63)$, $(0.6; 0.77)$, $(0.8; 0.89)$, $(1; 1)$, $(2; 1.41)$, $(3; 1.73)$. Соединим их плавной кривой.
4. На этой же координатной плоскости отметим точки для графика $y = \sqrt[3]{x}$: $(0; 0)$, $(0.2; 0.58)$, $(0.4; 0.74)$, $(0.6; 0.84)$, $(0.8; 0.93)$, $(1; 1)$, $(2; 1.26)$, $(3; 1.44)$. Соединим их другой плавной кривой.

При построении будет видно, что:
- Оба графика выходят из начала координат (точки $(0;0)$) и пересекаются в точке $(1;1)$.
- На интервале $(0; 1)$ график $y = \sqrt[3]{x}$ проходит выше графика $y = \sqrt{x}$.
- На интервале $(1; 3]$ график $y = \sqrt{x}$ проходит выше графика $y = \sqrt[3]{x}$.

Ответ: Построение выполняется по точкам из таблицы в пункте 1, которые соединяются плавными линиями с учетом заданного масштаба.

3) Сравните $\sqrt{x}$ и $\sqrt[3]{x}$ при $x = 0$; $x = 1$; $x > 1$; $0 < x < 1$.

Сравнение можно провести, основываясь на свойствах степенных функций. Представим корни в виде степеней: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ и $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Для сравнения этих выражений при $x \geq 0$ можно возвести их в 6-ю степень (наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3). При возведении в положительную степень знак неравенства для положительных чисел сохраняется.

• При $x = 0$: $\sqrt{0} = 0$ и $\sqrt[3]{0} = 0$. Значит, $\sqrt{x} = \sqrt[3]{x}$.
• При $x = 1$: $\sqrt{1} = 1$ и $\sqrt[3]{1} = 1$. Значит, $\sqrt{x} = \sqrt[3]{x}$.
• При $x > 1$: Сравним $(x^{1/2})^6$ и $(x^{1/3})^6$, то есть $x^3$ и $x^2$. Если $x>1$, то $x^3 > x^2$. Следовательно, $\sqrt{x} > \sqrt[3]{x}$.
• При $0 < x < 1$: Сравним $x^3$ и $x^2$. Если $0 < x < 1$, то при возведении в большую степень число уменьшается, т.е. $x^3 < x^2$. Следовательно, $\sqrt{x} < \sqrt[3]{x}$.

Ответ: При $x=0$ и $x=1$ имеем $\sqrt{x} = \sqrt[3]{x}$. При $x > 1$ имеем $\sqrt{x} > \sqrt[3]{x}$. При $0 < x < 1$ имеем $\sqrt{x} < \sqrt[3]{x}$.

4) Выпишите в порядке возрастания числа: $\sqrt{7.4}$; $\sqrt{10}$; $\sqrt{0.96}$; $\sqrt{0.51}$; $\sqrt[3]{7.4}$; $\sqrt[3]{5.1}$; $\sqrt[3]{0.96}$; 1.

Для упорядочивания чисел разобьем их на группы: меньше 1, равные 1 и больше 1. Будем использовать свойства возрастания функций $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$, а также результаты сравнения из пункта 3.

1. Числа меньше 1: Это числа, у которых подкоренное выражение меньше 1. Такими являются $\sqrt{0.51}$, $\sqrt{0.96}$, $\sqrt[3]{0.96}$.
   • Так как функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то из $0.51 < 0.96$ следует $\sqrt{0.51} < \sqrt{0.96}$.
   • Из пункта 3 известно, что при $x \in (0, 1)$ выполняется неравенство $\sqrt{x} < \sqrt[3]{x}$. Следовательно, $\sqrt{0.96} < \sqrt[3]{0.96}$.
   • Так как $0.96 < 1$, то $\sqrt[3]{0.96} < \sqrt[3]{1} = 1$.
   • Порядок в этой группе: $\sqrt{0.51} < \sqrt{0.96} < \sqrt[3]{0.96}$.
2. Число, равное 1: $1$.
3. Числа больше 1: Это числа, у которых подкоренное выражение больше 1. Такими являются $\sqrt{7.4}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt[3]{7.4}$, $\sqrt[3]{5.1}$.
   • Функции $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt[3]{x}$ возрастающие, поэтому $\sqrt[3]{5.1} < \sqrt[3]{7.4}$ и $\sqrt{7.4} < \sqrt{10}$.
   • Из пункта 3 известно, что при $x > 1$ выполняется неравенство $\sqrt[3]{x} < \sqrt{x}$. Следовательно, $\sqrt[3]{7.4} < \sqrt{7.4}$.
   • Объединяя эти неравенства, получаем: $1 < \sqrt[3]{5.1} < \sqrt[3]{7.4} < \sqrt{7.4} < \sqrt{10}$.

Собирая все группы в одну упорядоченную последовательность, получаем:

$\sqrt{0.51}; \sqrt{0.96}; \sqrt[3]{0.96}; 1; \sqrt[3]{5.1}; \sqrt[3]{7.4}; \sqrt{7.4}; \sqrt{10}$

Ответ: $\sqrt{0.51}; \sqrt{0.96}; \sqrt[3]{0.96}; 1; \sqrt[3]{5.1}; \sqrt[3]{7.4}; \sqrt{7.4}; \sqrt{10}$.