Номер 404, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 404, страница 111.

Условие.

404 a) $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$;

б) $2\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо представить подкоренное выражение $17 - 12\sqrt{2}$ в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что выполняются два условия:

1. $a^2 + b^2 = 17$
2. $2ab = 12\sqrt{2}$, что эквивалентно $ab = 6\sqrt{2}$

Попробуем подобрать такие $a$ и $b$. Из второго уравнения видно, что одно из чисел, вероятно, содержит множитель $\sqrt{2}$. Рассмотрим возможные варианты:

• Если $a=6$ и $b=\sqrt{2}$, то $a^2+b^2 = 6^2 + (\sqrt{2})^2 = 36+2=38 \neq 17$.
• Если $a=3$ и $b=2\sqrt{2}$, то $a^2+b^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 4 \cdot 2 = 9+8=17$. Этот вариант подходит.

Таким образом, мы можем разложить подкоренное выражение:

$17 - 12\sqrt{2} = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = (3 - 2\sqrt{2})^2$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} = |3 - 2\sqrt{2}|$.

Чтобы раскрыть модуль, нам нужно определить знак выражения $3 - 2\sqrt{2}$. Сравним $3$ и $2\sqrt{2}$. Для этого возведем оба числа в квадрат:

$3^2 = 9$

$(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

Поскольку $9 > 8$, то $3 > 2\sqrt{2}$, а значит, разность $3 - 2\sqrt{2}$ положительна.

Следовательно, $|3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$

б) $2\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}$

Сначала упростим выражение под корнем $\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}$. Для этого представим $14 + 6\sqrt{5}$ в виде полного квадрата суммы, используя формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Мы ищем такие числа $a$ и $b$, что:

1. $a^2 + b^2 = 14$
2. $2ab = 6\sqrt{5}$, что эквивалентно $ab = 3\sqrt{5}$

Подберем $a$ и $b$. Пусть $a=3$ и $b=\sqrt{5}$. Проверим сумму их квадратов:

$a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14$.

Условия выполняются. Значит, мы можем записать:

$14 + 6\sqrt{5} = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (3 + \sqrt{5})^2$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} = |3 + \sqrt{5}|$.

Так как оба числа $3$ и $\sqrt{5}$ положительны, их сумма также положительна, поэтому $|3 + \sqrt{5}| = 3 + \sqrt{5}$.

Вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$2\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = 2 \cdot (3 + \sqrt{5})$.

Раскроем скобки:

$2 \cdot (3 + \sqrt{5}) = 6 + 2\sqrt{5}$.

Ответ: $6 + 2\sqrt{5}$