Номер 410, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 2. Квадратные корни - номер 410, страница 112.

Условие.

410 Известны формулы для вычисления площади S треугольника.

Равностороннего: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$, где a — сторона.

Равнобедренного: $S = \frac{1}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$, где a — основание, b — боковая сторона.

Любого: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где a, b и c — стороны, $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Найдите приближённое значение площади каждого треугольника, изображённого на рисунке 2.35, используя соответствующую формулу. (Ответ дайте с одним знаком после запятой.)

411 Из клинописных табличек, найденных при раскопках, известен способ извлечения квадратных корней, которым пользовались древние вавилоняне ещё за две тысячи лет до н. э. На современном математическом языке он может быть описан с помощью такого приближённого равенства:

$\sqrt{c} = \sqrt{a^2 + b} \approx a + \frac{b}{2a}$.

Рис. 2.35

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо определить тип каждого треугольника, выбрать соответствующую формулу для вычисления площади и произвести расчеты, округлив результат до одного знака после запятой.

Треугольник POR

Этот треугольник является разносторонним, так как длины его сторон различны: $PO=3$, $OR=6$, $RP=5$. Для вычисления его площади $S$ воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $p$ – его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+5+6}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

2. Подставим найденные значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{7(7-3)(7-5)(7-6)} = \sqrt{7 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{56}$.

3. Найдем приближенное значение площади и округлим его:

$S = \sqrt{56} \approx 7.483$.

Округляя до одного знака после запятой, получаем $S \approx 7.5$.

Ответ: $7.5$

Треугольник LMN

Этот треугольник является равнобедренным, так как у него две стороны равны: $LM = NL = 6$. Основание треугольника $a = MN = 4$, а боковая сторона $b = 6$. Для вычисления площади $S$ используем формулу для равнобедренного треугольника: $S = \frac{1}{2}a\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$.

1. Подставим значения $a=4$ и $b=6$ в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{6^2 - \frac{4^2}{4}} = 2\sqrt{36 - \frac{16}{4}} = 2\sqrt{36-4} = 2\sqrt{32}$.

2. Упростим выражение и вычислим приближенное значение:

$S = 2\sqrt{16 \cdot 2} = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

Используя $\sqrt{2} \approx 1.414$, получаем:

$S \approx 8 \cdot 1.414 = 11.312$.

3. Округляя до одного знака после запятой, получаем $S \approx 11.3$.

Ответ: $11.3$

Треугольник ABC

Этот треугольник является равносторонним, так как все его стороны равны: $AB = BC = AC = 5$. Для вычисления площади $S$ используем формулу для равностороннего треугольника: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ – сторона треугольника.

1. Подставим значение стороны $a=5$ в формулу:

$S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$.

2. Вычислим приближенное значение. Используя $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем:

$S \approx \frac{25 \cdot 1.732}{4} = \frac{43.3}{4} = 10.825$.

3. Округляя до одного знака после запятой, получаем $S \approx 10.8$.

Ответ: $10.8$