Номер 413, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 2. Квадратные корни - номер 413, страница 113.

Условие.

413 Докажите, что:

а) $2\sqrt{300} + \sqrt{45} - 5\sqrt{48} = 3\sqrt{5}$;

б) $3\sqrt{54} + \sqrt{96} - 2\sqrt{150} = 3\sqrt{6}$;

в) $\sqrt{84} - (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = -21$;

г) $\sqrt{72} - (2\sqrt{6} - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 12$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Докажем тождество $2\sqrt{300} + \sqrt{45} - 5\sqrt{48} = 3\sqrt{5}$.
Для этого преобразуем левую часть равенства. Упростим каждый член, вынеся множитель из-под знака корня:
$2\sqrt{300} = 2\sqrt{100 \cdot 3} = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$;
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$;
$5\sqrt{48} = 5\sqrt{16 \cdot 3} = 5 \cdot 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$.
Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть:
$2\sqrt{300} + \sqrt{45} - 5\sqrt{48} = 20\sqrt{3} + 3\sqrt{5} - 20\sqrt{3}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(20\sqrt{3} - 20\sqrt{3}) + 3\sqrt{5} = 0 + 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Левая часть равна $3\sqrt{5}$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: $20\sqrt{3} + 3\sqrt{5} - 20\sqrt{3} = 3\sqrt{5}$, что и требовалось доказать.

б) Докажем тождество $3\sqrt{54} + \sqrt{96} - 2\sqrt{150} = 3\sqrt{6}$.
Преобразуем левую часть. Вынесем множители из-под знаков корней:
$3\sqrt{54} = 3\sqrt{9 \cdot 6} = 3 \cdot 3\sqrt{6} = 9\sqrt{6}$;
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$;
$2\sqrt{150} = 2\sqrt{25 \cdot 6} = 2 \cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{6}$.
Подставим упрощенные значения в левую часть:
$3\sqrt{54} + \sqrt{96} - 2\sqrt{150} = 9\sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 10\sqrt{6}$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9 + 4 - 10)\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$.
Левая часть равна $3\sqrt{6}$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: $9\sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 10\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$, что и требовалось доказать.

в) Докажем тождество $\sqrt{84} - (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = -21$.
Преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим корень и раскроем скобки:
$\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$;
$(3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} = 3 \cdot 7 + 2\sqrt{21} = 21 + 2\sqrt{21}$.
Подставим полученные выражения в левую часть:
$\sqrt{84} - (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{21} - (21 + 2\sqrt{21})$.
Раскроем скобки и выполним вычитание:
$2\sqrt{21} - 21 - 2\sqrt{21} = -21$.
Левая часть равна $-21$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: $2\sqrt{21} - (21 + 2\sqrt{21}) = -21$, что и требовалось доказать.

г) Докажем тождество $\sqrt{72} - (2\sqrt{6} - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 12$.
Преобразуем левую часть равенства. Упростим корень и раскроем скобки:
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$;
$(2\sqrt{6} - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{18} - 4 \cdot 3 = 2\sqrt{9 \cdot 2} - 12 = 2 \cdot 3\sqrt{2} - 12 = 6\sqrt{2} - 12$.
Подставим полученные выражения в левую часть:
$\sqrt{72} - (2\sqrt{6} - 4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{2} - (6\sqrt{2} - 12)$.
Раскроем скобки и выполним вычитание:
$6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 12 = 12$.
Левая часть равна $12$, что соответствует правой части. Тождество доказано.
Ответ: $6\sqrt{2} - (6\sqrt{2} - 12) = 12$, что и требовалось доказать.