Номер 412, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 2. Квадратные корни - номер 412, страница 113.

Условие.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

412 Найдите значение выражения при $a = 0,01$ и $b = 0,25$:

а) $a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$;

б) $\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{ab}};$

В) $(10\sqrt{a})^2 - (4\sqrt{b})^2$;

Г) $\sqrt{\frac{b}{a}} - \sqrt{1 - \frac{b - a}{b}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Подставим значения $a = 0,01$ и $b = 0,25$ в выражение $a\sqrt{b} + b\sqrt{a}$.
Сначала найдем значения квадратных корней: $\sqrt{a} = \sqrt{0,01} = 0,1$ и $\sqrt{b} = \sqrt{0,25} = 0,5$.
Теперь выполним вычисление:$a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = 0,01 \cdot 0,5 + 0,25 \cdot 0,1 = 0,005 + 0,025 = 0,03$.
Ответ: 0,03.

б) Сначала упростим выражение $\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$, разделив числитель почленно на знаменатель:$\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}}$.
Теперь подставим значения $\sqrt{a} = \sqrt{0,01} = 0,1$ и $\sqrt{b} = \sqrt{0,25} = 0,5$:$\frac{1}{0,1} - \frac{1}{0,5} = 10 - 2 = 8$.
Ответ: 8.

в) Упростим выражение $(10\sqrt{a})^2 - (4\sqrt{b})^2$, используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$ и определение квадратного корня $(\sqrt{x})^2 = x$ (при $x \ge 0$):$(10\sqrt{a})^2 - (4\sqrt{b})^2 = 10^2(\sqrt{a})^2 - 4^2(\sqrt{b})^2 = 100a - 16b$.
Подставим значения $a = 0,01$ и $b = 0,25$:$100 \cdot 0,01 - 16 \cdot 0,25 = 1 - 4 = -3$.
Ответ: -3.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{b}{a}} - \sqrt{1 - \frac{b-a}{b}}$.
Сначала упростим второй член выражения, приведя выражение под корнем к общему знаменателю:$\sqrt{1 - \frac{b-a}{b}} = \sqrt{\frac{b}{b} - \frac{b-a}{b}} = \sqrt{\frac{b - (b-a)}{b}} = \sqrt{\frac{b - b + a}{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
Тогда исходное выражение примет вид: $\sqrt{\frac{b}{a}} - \sqrt{\frac{a}{b}}$.
Подставим значения $a = 0,01$ и $b = 0,25$:$\sqrt{\frac{0,25}{0,01}} - \sqrt{\frac{0,01}{0,25}} = \sqrt{25} - \sqrt{0,04} = 5 - 0,2 = 4,8$.
Ответ: 4,8.