Номер 407, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.9. Двойные радикалы. Глава 2. Квадратные корни - номер 407, страница 111.

Условие.

407 Докажите формулу

$\sqrt{a-b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}} - \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}$, где $b > 0$.

Примените эту формулу для упрощения выражения

$\sqrt{57-12\sqrt{15}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Докажите формулу

Для доказательства тождества $ \sqrt{a - b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} $ возведем в квадрат его правую часть. Обозначим правую часть как $X$.

$ X = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} - \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} $

Чтобы возвести $X$ в квадрат, воспользуемся формулой квадрата разности $(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$:

$ X^2 = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right)^2 - 2 \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right) \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right) + \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right)^2 $

Сумма первого и третьего слагаемых:

$ \left(\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}\right) + \left(\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}\right) = \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c} + a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a $

Теперь преобразуем второе слагаемое (удвоенное произведение):

$ -2 \sqrt{\left(\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}\right) \left(\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}\right)} = -2 \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b^2c})(a - \sqrt{a^2 - b^2c})}{4}} $

Выражение в числителе под внутренним корнем является разностью квадратов $(p+q)(p-q)=p^2-q^2$:

$ (a + \sqrt{a^2 - b^2c})(a - \sqrt{a^2 - b^2c}) = a^2 - (\sqrt{a^2 - b^2c})^2 = a^2 - (a^2 - b^2c) = b^2c $

Подставим результат обратно:

$ -2 \sqrt{\frac{b^2c}{4}} = -2 \frac{\sqrt{b^2}\sqrt{c}}{\sqrt{4}} = -2 \frac{|b|\sqrt{c}}{2} = -|b|\sqrt{c} $

По условию задачи $b > 0$, следовательно, $|b| = b$. Таким образом, второе слагаемое равно $-b\sqrt{c}$.

Собираем все части вместе, чтобы найти $X^2$:

$ X^2 = a - b\sqrt{c} $

По определению арифметического квадратного корня, выражение $\sqrt{a - b\sqrt{c}}$ должно быть неотрицательным. Правая часть $X$ также должна быть неотрицательной. Проверим это: $ \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \ge \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} $, так как $a + \sqrt{a^2 - b^2c} \ge a - \sqrt{a^2 - b^2c}$ (поскольку $\sqrt{a^2-b^2c} \ge 0$). Следовательно, $X \ge 0$.

Так как $X \ge 0$ и $X^2 = a - b\sqrt{c}$, то по определению квадратного корня $X = \sqrt{a - b\sqrt{c}}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Данная формула является верной.

Примените эту формулу для упрощения выражения $\sqrt{57-12\sqrt{15}}$

Чтобы упростить выражение $\sqrt{57-12\sqrt{15}}$, воспользуемся доказанной формулой. Сравним наше выражение с левой частью формулы $\sqrt{a - b\sqrt{c}}$.

Определим значения параметров $a$, $b$ и $c$:

$ a = 57 $

$ b = 12 $

$ c = 15 $

Условие $b > 0$ выполняется ($12 > 0$).

Теперь вычислим значение выражения $a^2 - b^2c$, которое находится под внутренним корнем в формуле:

$ a^2 - b^2c = 57^2 - 12^2 \cdot 15 = 3249 - 144 \cdot 15 = 3249 - 2160 = 1089 $

Найдем квадратный корень из этого результата:

$ \sqrt{1089} = 33 $

Подставим значения $a=57$ и $\sqrt{a^2-b^2c}=33$ в правую часть формулы:

$ \sqrt{57 - 12\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{57 + 33}{2}} - \sqrt{\frac{57 - 33}{2}} $

Выполним вычисления в числителях:

$ \sqrt{\frac{90}{2}} - \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{45} - \sqrt{12} $

Упростим полученные квадратные корни, вынеся множители из-под знака корня:

$ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5} $

$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $

Таким образом, окончательное упрощенное выражение имеет вид:

$ 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3} $

Ответ: $3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$.