Номер 405, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 2. Квадратные корни. 2.9. Двойные радикалы - номер 405, страница 111.

Условие.

405 Докажите формулу

$\sqrt{a+b\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b^2c}}{2}}$, где $b > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данной формулы возведем в квадрат ее правую часть и покажем, что она равна подкоренному выражению в левой части, то есть $a + b\sqrt{c}$. Обозначим правую часть через $X$.

$$ X = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} $$

Прежде чем приступить к возведению в квадрат, отметим, что для корректности всех выражений в действительных числах должны выполняться условия: $c \ge 0$, $a^2 - b^2c \ge 0$ и $a - \sqrt{a^2 - b^2c} \ge 0$ (чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными). Последнее неравенство эквивалентно $a \ge \sqrt{a^2 - b^2c}$, что при условии $a \ge 0$ и $a^2 - b^2c \ge 0$ всегда выполняется. Таким образом, мы предполагаем, что $a \ge 0$, $c \ge 0$ и $a^2 \ge b^2c$.

Возведем $X$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$. Так как оба слагаемых в $X$ являются арифметическими корнями, они неотрицательны, а значит и их сумма $X \ge 0$.

$$ X^2 = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right)^2 $$

Раскрывая скобки, получаем:

$$ X^2 = \left( \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right)^2 + 2 \cdot \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} + \left( \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2}} \right)^2 $$

Упростим полученное выражение. Сумма первого и третьего слагаемых:

$$ \left( \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} \right) + \left( \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} \right) = \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2c} + a - \sqrt{a^2 - b^2c}}{2} = \frac{2a}{2} = a $$

Теперь упростим второе слагаемое (удвоенное произведение). Используя свойство $\sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$ и формулу разности квадратов $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$ в числителе подкоренного выражения, получаем:

$$ 2 \sqrt{\frac{(a + \sqrt{a^2 - b^2c})(a - \sqrt{a^2 - b^2c})}{4}} = 2 \sqrt{\frac{a^2 - (\sqrt{a^2 - b^2c})^2}{4}} $$$$ = 2 \sqrt{\frac{a^2 - (a^2 - b^2c)}{4}} = 2 \sqrt{\frac{a^2 - a^2 + b^2c}{4}} = 2 \sqrt{\frac{b^2c}{4}} $$$$ = 2 \frac{\sqrt{b^2c}}{\sqrt{4}} = 2 \frac{\sqrt{b^2}\sqrt{c}}{2} = |b|\sqrt{c} $$

По условию задачи $b > 0$, следовательно, $|b| = b$. Таким образом, второе слагаемое равно $b\sqrt{c}$.

Соберем все части вместе:

$$ X^2 = a + b\sqrt{c} $$

Так как мы установили, что $X \ge 0$, и подкоренное выражение в левой части исходного равенства $a + b\sqrt{c}$ также должно быть неотрицательным, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей последнего равенства:

$$ X = \sqrt{a + b\sqrt{c}} $$

Мы показали, что правая часть исходной формулы равна левой. Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула доказана.