Номер 398, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Кубический корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 398, страница 108.

Условие.

398 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

Объём правильного тетраэдра (треугольной пирамиды, все рёбра которой равны) вычисляется по формуле $V = \frac{a^3 \sqrt{3}}{12}$, где $a$ — длина ребра тетраэдра. Выразите из этой формулы длину ребра $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы выразить длину ребра $a$ из формулы объёма правильного тетраэдра $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$, необходимо решить это уравнение относительно переменной $a$.

Сначала умножим обе части исходного уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:
$12 \cdot V = 12 \cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$
$12V = a^3\sqrt{3}$

Далее, чтобы выделить $a^3$, разделим обе части получившегося уравнения на $\sqrt{3}$:
$\frac{12V}{\sqrt{3}} = \frac{a^3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$a^3 = \frac{12V}{\sqrt{3}}$

На последнем шаге, чтобы найти $a$, извлечём кубический корень из обеих частей уравнения:
$a = \sqrt[3]{\frac{12V}{\sqrt{3}}}$

Это выражение можно упростить, избавившись от иррациональности в знаменателе подкоренного выражения. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{\sqrt{3}}$ на $\sqrt{3}$:
$\frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$
Таким образом, окончательная формула для $a$ приобретает вид:
$a = \sqrt[3]{4\sqrt{3}V}$

Ответ: $a = \sqrt[3]{4\sqrt{3}V}$