Номер 392, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Кубический корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 392, страница 107.

Условие.

392 1) Какие из чисел 15, -18, 56, -110 являются допустимыми значениями для выражения $\sqrt{a}$? выражения $\sqrt[3]{a}$?

2) Подставьте в каждое из выражений $\sqrt{a}$ и $\sqrt[3]{a}$ допустимые значения переменной и укажите два последовательных целых числа, между которыми заключено значение корня.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Разберем допустимые значения для каждого из выражений.

Выражение $\sqrt{a}$ (арифметический квадратный корень) определено только для неотрицательных значений переменной $a$. Это значит, что должно выполняться условие $a \ge 0$. Из предложенных чисел $15, -18, 56, -110$ этому условию удовлетворяют только положительные числа: $15$ и $56$.

Выражение $\sqrt[3]{a}$ (кубический корень) определено для любых действительных чисел $a$, так как можно извлечь кубический корень как из положительного, так и из отрицательного числа или нуля. Следовательно, все предложенные числа $15, -18, 56, -110$ являются допустимыми значениями.

Ответ: для выражения $\sqrt{a}$ допустимыми являются числа $15$ и $56$; для выражения $\sqrt[3]{a}$ допустимыми являются все числа: $15, -18, 56, -110$.

2)

Теперь подставим допустимые значения в каждое из выражений и определим два последовательных целых числа, между которыми находится значение корня.

Для выражения $\sqrt{a}$:

- При $a = 15$:
Находим квадраты целых чисел, между которыми находится 15. Это $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Из неравенства $9 < 15 < 16$ следует, что $\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}$, а значит $3 < \sqrt{15} < 4$.
Значение корня заключено между целыми числами 3 и 4.

- При $a = 56$:
Находим квадраты целых чисел, между которыми находится 56. Это $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$.
Из неравенства $49 < 56 < 64$ следует, что $\sqrt{49} < \sqrt{56} < \sqrt{64}$, а значит $7 < \sqrt{56} < 8$.
Значение корня заключено между целыми числами 7 и 8.

Для выражения $\sqrt[3]{a}$:

- При $a = 15$:
Находим кубы целых чисел: $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$.
Из неравенства $8 < 15 < 27$ следует, что $\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{15} < \sqrt[3]{27}$, а значит $2 < \sqrt[3]{15} < 3$.
Значение корня заключено между целыми числами 2 и 3.

- При $a = -18$:
Находим кубы целых чисел: $(-3)^3 = -27$ и $(-2)^3 = -8$.
Из неравенства $-27 < -18 < -8$ следует, что $\sqrt[3]{-27} < \sqrt[3]{-18} < \sqrt[3]{-8}$, а значит $-3 < \sqrt[3]{-18} < -2$.
Значение корня заключено между целыми числами -3 и -2.

- При $a = 56$:
Находим кубы целых чисел: $3^3 = 27$ и $4^3 = 64$.
Из неравенства $27 < 56 < 64$ следует, что $\sqrt[3]{27} < \sqrt[3]{56} < \sqrt[3]{64}$, а значит $3 < \sqrt[3]{56} < 4$.
Значение корня заключено между целыми числами 3 и 4.

- При $a = -110$:
Находим кубы целых чисел: $(-5)^3 = -125$ и $(-4)^3 = -64$.
Из неравенства $-125 < -110 < -64$ следует, что $\sqrt[3]{-125} < \sqrt[3]{-110} < \sqrt[3]{-64}$, а значит $-5 < \sqrt[3]{-110} < -4$.
Значение корня заключено между целыми числами -5 и -4.

Ответ:
Для $\sqrt{15}$ искомые числа — 3 и 4.
Для $\sqrt{56}$ искомые числа — 7 и 8.
Для $\sqrt[3]{15}$ искомые числа — 2 и 3.
Для $\sqrt[3]{-18}$ искомые числа — -3 и -2.
Для $\sqrt[3]{56}$ искомые числа — 3 и 4.
Для $\sqrt[3]{-110}$ искомые числа — -5 и -4.