Номер 385, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 385, страница 104.

Условие.

385 Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $√{2x^3}$;

б) $√{\frac{x^5}{6}};$

в) $√{\frac{x^3}{y^3}};$

г) $√{(x+y)^3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{2x^3}$, сначала определим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x^3 \ge 0$, что означает $x^3 \ge 0$, и следовательно $x \ge 0$.

Теперь преобразуем подкоренное выражение, выделив в нем множитель, являющийся полным квадратом. Мы можем представить $x^3$ как произведение $x^2 \cdot x$.

$\sqrt{2x^3} = \sqrt{2 \cdot x^2 \cdot x}$

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для $a \ge 0, b \ge 0$), получим:

$\sqrt{2 \cdot x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2x}$

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как из области допустимых значений мы знаем, что $x \ge 0$, то $|x| = x$.

Следовательно, итоговое выражение: $x\sqrt{2x}$.

Ответ: $x\sqrt{2x}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{x^5}{6}}$. Область допустимых значений определяется условием $\frac{x^5}{6} \ge 0$, из которого следует, что $x^5 \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

Представим $x^5$ как $x^4 \cdot x$. Множитель $x^4$ является полным квадратом, так как $x^4 = (x^2)^2$.

$\sqrt{\frac{x^5}{6}} = \sqrt{\frac{x^4 \cdot x}{6}}$

Вынесем множитель $x^4$ из-под знака корня:

$\sqrt{\frac{x^4 \cdot x}{6}} = \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{\frac{x}{6}} = |x^2|\sqrt{\frac{x}{6}}$

Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно, $|x^2| = x^2$. Получаем $x^2\sqrt{\frac{x}{6}}$.

Часто в таких случаях избавляются от иррациональности в знаменателе. Для этого преобразуем выражение, домножив числитель и знаменатель дроби под корнем на 6:

$\sqrt{\frac{x^5}{6}} = \sqrt{\frac{x^5 \cdot 6}{6 \cdot 6}} = \frac{\sqrt{6x^5}}{ \sqrt{36}} = \frac{\sqrt{6 \cdot x^4 \cdot x}}{6} = \frac{\sqrt{x^4} \cdot \sqrt{6x}}{6} = \frac{x^2\sqrt{6x}}{6}$.

Ответ: $\frac{x^2\sqrt{6x}}{6}$

в) Дано выражение $\sqrt{\frac{x^3}{y^3}}$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{x^3}{y^3} = \left(\frac{x}{y}\right)^3 \ge 0$. Это возможно, когда $\frac{x}{y} \ge 0$, при условии что $y \ne 0$. Это означает, что переменные $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки (или $x=0$). Следовательно, их произведение $xy \ge 0$.

Чтобы вынести множитель, преобразуем подкоренное выражение, домножив числитель и знаменатель на $y$, чтобы в знаменателе получить степень с четным показателем:

$\sqrt{\frac{x^3}{y^3}} = \sqrt{\frac{x^3 \cdot y}{y^3 \cdot y}} = \sqrt{\frac{x^3y}{y^4}}$

Применим свойство корня от дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\frac{\sqrt{x^3y}}{\sqrt{y^4}} = \frac{\sqrt{x^2 \cdot xy}}{y^2}$

Так как $xy \ge 0$, мы можем извлечь корень из произведения в числителе:

$\frac{\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{xy}}{y^2} = \frac{|x|\sqrt{xy}}{y^2}$

Ответ: $\frac{|x|\sqrt{xy}}{y^2}$

г) В выражении $\sqrt{(x+y)^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(x+y)^3 \ge 0$, что равносильно условию $x+y \ge 0$.

Представим степень $(x+y)^3$ как произведение $(x+y)^2 \cdot (x+y)$:

$\sqrt{(x+y)^3} = \sqrt{(x+y)^2 \cdot (x+y)}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{(x+y)^2 \cdot (x+y)} = \sqrt{(x+y)^2} \cdot \sqrt{x+y}$

По определению $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{(x+y)^2} = |x+y|$.

Учитывая область допустимых значений, где $x+y \ge 0$, получаем $|x+y| = x+y$.

Таким образом, окончательное выражение имеет вид: $(x+y)\sqrt{x+y}$.

Ответ: $(x+y)\sqrt{x+y}$