Номер 378, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 378, страница 103.

Условие.

378 Найдите значение выражения:

a) $x(x + 1)(x + 2)(x + 3)$ при $x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$;

б) $(m - 1)(m - 2)(m - 3)(m - 4)$ при $m = \frac{10+\sqrt{2}}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Найдем значение выражения $x(x+1)(x+2)(x+3)$ при $x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$.

Для упрощения вычислений сгруппируем множители. Удобнее всего перемножить первый множитель с четвертым, а второй с третьим, так как это приведет к одинаковому выражению $x^2+3x$.

$x(x+1)(x+2)(x+3) = [x(x+3)][(x+1)(x+2)] = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$.

Теперь найдем значение общего для обеих скобок выражения $x^2 + 3x$. Для этого преобразуем данное значение $x$.

$x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2x = \sqrt{5}-3$

Перенесем -3 в левую часть:

$2x + 3 = \sqrt{5}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(2x + 3)^2 = (\sqrt{5})^2$

$4x^2 + 12x + 9 = 5$

$4x^2 + 12x = 5 - 9$

$4x^2 + 12x = -4$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 + 3x = -1$

Теперь подставим полученное значение $(-1)$ в преобразованное выражение $(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)$:

$(-1)(-1 + 2) = (-1)(1) = -1$.

Ответ: -1

б) Найдем значение выражения $(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)$ при $m = \frac{10+\sqrt{2}}{4}$.

Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем множители для упрощения. Сгруппируем первый множитель с четвертым, а второй с третьим, чтобы получить одинаковую часть $m^2-5m$.

$(m-1)(m-4) = m^2 - 4m - m + 4 = m^2 - 5m + 4$.

$(m-2)(m-3) = m^2 - 3m - 2m + 6 = m^2 - 5m + 6$.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$(m^2 - 5m + 4)(m^2 - 5m + 6)$.

Теперь найдем значение выражения $m^2 - 5m$. Преобразуем данное значение $m$.

$m = \frac{10+\sqrt{2}}{4}$

Умножим обе части на 4:

$4m = 10+\sqrt{2}$

Перенесем 10 в левую часть:

$4m - 10 = \sqrt{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(4m - 10)^2 = (\sqrt{2})^2$

$16m^2 - 80m + 100 = 2$

$16m^2 - 80m = 2 - 100$

$16m^2 - 80m = -98$

Разделим обе части на 16:

$m^2 - 5m = -\frac{98}{16} = -\frac{49}{8}$

Подставим полученное значение в выражение $(m^2 - 5m + 4)(m^2 - 5m + 6)$:

$\left(-\frac{49}{8} + 4\right)\left(-\frac{49}{8} + 6\right)$.

Приведем целые числа в скобках к общему знаменателю 8:

$\left(-\frac{49}{8} + \frac{32}{8}\right)\left(-\frac{49}{8} + \frac{48}{8}\right) = \left(\frac{-49+32}{8}\right)\left(\frac{-49+48}{8}\right) = \left(-\frac{17}{8}\right)\left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{17}{64}$.

Ответ: $\frac{17}{64}$