Номер 381, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 381, страница 103.

Условие.

ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ (381–382)

381 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $ \frac{1}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}} $;

б) $ \frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}} $, сгруппируем слагаемые в знаменателе и домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Этот метод основан на формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.
Сгруппируем знаменатель следующим образом: $ (1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6} $. Сопряженным к нему будет выражение $ (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6} $.
Умножим числитель и знаменатель дроби на это выражение:
$ \frac{1}{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}} = \frac{1}{(1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6}} \cdot \frac{(1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6}}{(1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6}} = \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{((1 + \sqrt{5}) - \sqrt{6})((1 + \sqrt{5}) + \sqrt{6})} $
Применим формулу разности квадратов к знаменателю:
$ (1 + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{6})^2 = (1^2 + 2\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) - 6 = (1 + 2\sqrt{5} + 5) - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5} $
Теперь наша дробь имеет вид:
$ \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{2\sqrt{5}} $
В знаменателе все еще есть иррациональность. Чтобы избавиться от $ \sqrt{5} $, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:
$ \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5} + \sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5} + 5 + \sqrt{30}}{10} $
Ответ: $ \frac{5 + \sqrt{5} + \sqrt{30}}{10} $

б) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} $, применим тот же метод, что и в пункте а).
Сгруппируем слагаемые в знаменателе: $ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5} $. Сопряженным к нему будет выражение $ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5} $.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
$ \frac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{12}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}} \cdot \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}} = \frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} $
Преобразуем знаменатель, используя формулу квадрата суммы и разности квадратов:
$ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = ((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) - 5 = (2 + 2\sqrt{6} + 3) - 5 = 5 + 2\sqrt{6} - 5 = 2\sqrt{6} $
Дробь примет вид:
$ \frac{12(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{2\sqrt{6}} $
Сократим дробь на 2:
$ \frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}} $
Теперь избавимся от иррациональности $ \sqrt{6} $ в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{6} $:
$ \frac{6(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{6(\sqrt{2}\sqrt{6} + \sqrt{3}\sqrt{6} + \sqrt{5}\sqrt{6})}{(\sqrt{6})^2} = \frac{6(\sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{30})}{6} $
Сократим дробь на 6:
$ \sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{30} $
Упростим корни, вынеся множители из-под знака корня:
$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $
$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $
Таким образом, получаем:
$ 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30} $
Ответ: $ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + \sqrt{30} $