Номер 386, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 386, страница 104.

Условие.

386 Упростите выражение, если $n$ — целое число:

a) $\sqrt{5^{2n}}$;

б) $\sqrt{y^{4n}}$;

в) $\sqrt{x^{2n}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{5^{2n}}$, воспользуемся свойствами степеней и корней. Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $5^{2n} = (5^n)^2$. Теперь исходное выражение можно записать так: $\sqrt{(5^n)^2}$. Согласно свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(5^n)^2} = |5^n|$. Так как основание степени 5 — положительное число, то при любом целом значении $n$ выражение $5^n$ всегда будет положительным ($5^n > 0$). Следовательно, модуль можно опустить, так как $|a| = a$ для $a > 0$. $|5^n| = 5^n$. Ответ: $5^n$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{y^{4n}}$. Перепишем подкоренное выражение, представив его в виде квадрата некоторого выражения. Используя свойство степеней $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем: $y^{4n} = y^{2 \cdot (2n)} = (y^{2n})^2$. Тогда исходное выражение можно записать как: $\sqrt{(y^{2n})^2}$. Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(y^{2n})^2} = |y^{2n}|$. Проанализируем выражение $y^{2n}$. Так как $n$ — целое число, то $2n$ — всегда четное число. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. То есть, $y^{2n} \ge 0$ для любого $y$, при котором выражение имеет смысл. Поскольку $y^{2n}$ всегда неотрицательно, его модуль равен самому выражению: $|y^{2n}| = y^{2n}$. Ответ: $y^{2n}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{2n}}$. Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $x^{2n} = (x^n)^2$. Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{(x^n)^2}$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получим: $\sqrt{(x^n)^2} = |x^n|$. В данном случае знак выражения $x^n$ зависит от знака $x$ и от четности или нечетности целого числа $n$.

• Если $x > 0$, то $x^n > 0$, и $|x^n| = x^n$.
• Если $x < 0$ и $n$ — четное, то $x^n > 0$, и $|x^n| = x^n$.
• Если $x < 0$ и $n$ — нечетное, то $x^n < 0$, и $|x^n| = -x^n$.
• Если $x=0$ (и $n>0$), то $x^n=0$, и $|x^n|=0$.

Поскольку мы не можем определить знак $x^n$ без дополнительной информации, то наиболее полным и правильным упрощением является выражение с модулем. Ответ: $|x^n|$.