Страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

384 Упростите выражение:

а) $\sqrt{81a^2}$, если $a < 0$;

б) $\sqrt{24x^2}$, если $x > 0$;

в) $\sqrt{0.16a^2c^2}$, если $a < 0, c < 0$;

г) $\sqrt{8m^2n^2}$, если $m < 0, n > 0$.

а) Для упрощения выражения $ \sqrt{81a^2} $ при условии $ a < 0 $, воспользуемся свойством квадратного корня $ \sqrt{x^2} = |x| $.

$ \sqrt{81a^2} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a^2} = 9 \cdot |a| $

Поскольку по условию $ a < 0 $, то модуль отрицательного числа $ |a| $ равен противоположному ему числу, то есть $ |a| = -a $.

Подставим это в наше выражение:

$ 9 \cdot |a| = 9 \cdot (-a) = -9a $

Ответ: $ -9a $

б) Для упрощения выражения $ \sqrt{24x^2} $ при условии $ x > 0 $, сначала вынесем множитель из-под знака корня для числа 24.

$ 24 = 4 \cdot 6 $.

Теперь применим свойство корня из произведения и тождество $ \sqrt{x^2} = |x| $:

$ \sqrt{24x^2} = \sqrt{4 \cdot 6 \cdot x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{x^2} = 2\sqrt{6} \cdot |x| $

По условию $ x > 0 $, следовательно, $ |x| = x $. Подставим это в выражение:

$ 2\sqrt{6} \cdot |x| = 2\sqrt{6} \cdot x = 2x\sqrt{6} $

Ответ: $ 2x\sqrt{6} $

в) Для упрощения выражения $ \sqrt{0,16a^2c^2} $ при условии $ a < 0 $ и $ c < 0 $, используем свойство $ \sqrt{x^2} = |x| $ для каждого множителя под корнем.

$ \sqrt{0,16a^2c^2} = \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{c^2} = 0,4 \cdot |a| \cdot |c| $

По условию $ a < 0 $, поэтому $ |a| = -a $. Также по условию $ c < 0 $, поэтому $ |c| = -c $.

Подставим значения модулей в выражение:

$ 0,4 \cdot |a| \cdot |c| = 0,4 \cdot (-a) \cdot (-c) = 0,4ac $

Ответ: $ 0,4ac $

г) Для упрощения выражения $ \sqrt{8m^2n^2} $ при условии $ m < 0 $ и $ n > 0 $, вынесем множитель из-под знака корня и применим тождество $ \sqrt{x^2} = |x| $.

$ \sqrt{8m^2n^2} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot m^2 \cdot n^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n^2} = 2\sqrt{2} \cdot |m| \cdot |n| $

Теперь раскроем модули, учитывая знаки переменных. По условию $ m < 0 $, значит $ |m| = -m $. По условию $ n > 0 $, значит $ |n| = n $.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$ 2\sqrt{2} \cdot |m| \cdot |n| = 2\sqrt{2} \cdot (-m) \cdot n = -2mn\sqrt{2} $

Ответ: $ -2mn\sqrt{2} $

385 Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $√{2x^3}$;

б) $√{\frac{x^5}{6}};$

в) $√{\frac{x^3}{y^3}};$

г) $√{(x+y)^3}.$

а) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{2x^3}$, сначала определим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x^3 \ge 0$, что означает $x^3 \ge 0$, и следовательно $x \ge 0$.

Теперь преобразуем подкоренное выражение, выделив в нем множитель, являющийся полным квадратом. Мы можем представить $x^3$ как произведение $x^2 \cdot x$.

$\sqrt{2x^3} = \sqrt{2 \cdot x^2 \cdot x}$

Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для $a \ge 0, b \ge 0$), получим:

$\sqrt{2 \cdot x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2x}$

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как из области допустимых значений мы знаем, что $x \ge 0$, то $|x| = x$.

Следовательно, итоговое выражение: $x\sqrt{2x}$.

Ответ: $x\sqrt{2x}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{x^5}{6}}$. Область допустимых значений определяется условием $\frac{x^5}{6} \ge 0$, из которого следует, что $x^5 \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

Представим $x^5$ как $x^4 \cdot x$. Множитель $x^4$ является полным квадратом, так как $x^4 = (x^2)^2$.

$\sqrt{\frac{x^5}{6}} = \sqrt{\frac{x^4 \cdot x}{6}}$

Вынесем множитель $x^4$ из-под знака корня:

$\sqrt{\frac{x^4 \cdot x}{6}} = \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{\frac{x}{6}} = |x^2|\sqrt{\frac{x}{6}}$

Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно, $|x^2| = x^2$. Получаем $x^2\sqrt{\frac{x}{6}}$.

Часто в таких случаях избавляются от иррациональности в знаменателе. Для этого преобразуем выражение, домножив числитель и знаменатель дроби под корнем на 6:

$\sqrt{\frac{x^5}{6}} = \sqrt{\frac{x^5 \cdot 6}{6 \cdot 6}} = \frac{\sqrt{6x^5}}{ \sqrt{36}} = \frac{\sqrt{6 \cdot x^4 \cdot x}}{6} = \frac{\sqrt{x^4} \cdot \sqrt{6x}}{6} = \frac{x^2\sqrt{6x}}{6}$.

Ответ: $\frac{x^2\sqrt{6x}}{6}$

в) Дано выражение $\sqrt{\frac{x^3}{y^3}}$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{x^3}{y^3} = \left(\frac{x}{y}\right)^3 \ge 0$. Это возможно, когда $\frac{x}{y} \ge 0$, при условии что $y \ne 0$. Это означает, что переменные $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки (или $x=0$). Следовательно, их произведение $xy \ge 0$.

Чтобы вынести множитель, преобразуем подкоренное выражение, домножив числитель и знаменатель на $y$, чтобы в знаменателе получить степень с четным показателем:

$\sqrt{\frac{x^3}{y^3}} = \sqrt{\frac{x^3 \cdot y}{y^3 \cdot y}} = \sqrt{\frac{x^3y}{y^4}}$

Применим свойство корня от дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\frac{\sqrt{x^3y}}{\sqrt{y^4}} = \frac{\sqrt{x^2 \cdot xy}}{y^2}$

Так как $xy \ge 0$, мы можем извлечь корень из произведения в числителе:

$\frac{\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{xy}}{y^2} = \frac{|x|\sqrt{xy}}{y^2}$

Ответ: $\frac{|x|\sqrt{xy}}{y^2}$

г) В выражении $\sqrt{(x+y)^3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(x+y)^3 \ge 0$, что равносильно условию $x+y \ge 0$.

Представим степень $(x+y)^3$ как произведение $(x+y)^2 \cdot (x+y)$:

$\sqrt{(x+y)^3} = \sqrt{(x+y)^2 \cdot (x+y)}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt{(x+y)^2 \cdot (x+y)} = \sqrt{(x+y)^2} \cdot \sqrt{x+y}$

По определению $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{(x+y)^2} = |x+y|$.

Учитывая область допустимых значений, где $x+y \ge 0$, получаем $|x+y| = x+y$.

Таким образом, окончательное выражение имеет вид: $(x+y)\sqrt{x+y}$.

Ответ: $(x+y)\sqrt{x+y}$

386 Упростите выражение, если $n$ — целое число:

a) $\sqrt{5^{2n}}$;

б) $\sqrt{y^{4n}}$;

в) $\sqrt{x^{2n}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{5^{2n}}$, воспользуемся свойствами степеней и корней. Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $5^{2n} = (5^n)^2$. Теперь исходное выражение можно записать так: $\sqrt{(5^n)^2}$. Согласно свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(5^n)^2} = |5^n|$. Так как основание степени 5 — положительное число, то при любом целом значении $n$ выражение $5^n$ всегда будет положительным ($5^n > 0$). Следовательно, модуль можно опустить, так как $|a| = a$ для $a > 0$. $|5^n| = 5^n$. Ответ: $5^n$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{y^{4n}}$. Перепишем подкоренное выражение, представив его в виде квадрата некоторого выражения. Используя свойство степеней $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем: $y^{4n} = y^{2 \cdot (2n)} = (y^{2n})^2$. Тогда исходное выражение можно записать как: $\sqrt{(y^{2n})^2}$. Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(y^{2n})^2} = |y^{2n}|$. Проанализируем выражение $y^{2n}$. Так как $n$ — целое число, то $2n$ — всегда четное число. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. То есть, $y^{2n} \ge 0$ для любого $y$, при котором выражение имеет смысл. Поскольку $y^{2n}$ всегда неотрицательно, его модуль равен самому выражению: $|y^{2n}| = y^{2n}$. Ответ: $y^{2n}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{2n}}$. Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $x^{2n} = (x^n)^2$. Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{(x^n)^2}$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получим: $\sqrt{(x^n)^2} = |x^n|$. В данном случае знак выражения $x^n$ зависит от знака $x$ и от четности или нечетности целого числа $n$.

• Если $x > 0$, то $x^n > 0$, и $|x^n| = x^n$.
• Если $x < 0$ и $n$ — четное, то $x^n > 0$, и $|x^n| = x^n$.
• Если $x < 0$ и $n$ — нечетное, то $x^n < 0$, и $|x^n| = -x^n$.
• Если $x=0$ (и $n>0$), то $x^n=0$, и $|x^n|=0$.

Поскольку мы не можем определить знак $x^n$ без дополнительной информации, то наиболее полным и правильным упрощением является выражение с модулем. Ответ: $|x^n|$.

387 Постройте график зависимости:

а) $y = \sqrt{x^2}$;

б) $y = (\sqrt{x})^2$;

в) $y = x(\sqrt{x})^2$;

г) $y = x\sqrt{x^2}$.

а) $y=\sqrt{x^2}$

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня, $x^2$, должно быть неотрицательным. Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ всегда больше или равен нулю ($x^2 \ge 0$), область определения данной функции включает все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение функции. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это правило, получаем: $y = |x|$.

3. Построение графика. График функции $y = |x|$ (модуль $x$) хорошо известен. Он состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:

• При $x \ge 0$, $|x| = x$, поэтому $y = x$. Это биссектриса первого координатного угла.
• При $x < 0$, $|x| = -x$, поэтому $y = -x$. Это биссектриса второго координатного угла.

Ответ: Графиком функции является объединение двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Это график модуля $x$.

б) $y=(\sqrt{x})^2$

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня, $x$, должно быть неотрицательным. Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Упрощение функции. Для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$) выполняется тождество $(\sqrt{x})^2 = x$. Таким образом, функция принимает вид $y = x$.

3. Построение графика. Необходимо построить график функции $y = x$ с учетом её области определения $x \ge 0$. Это луч, который начинается в точке (0, 0) и является биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: Графиком функции является луч $y=x$, начинающийся в точке (0,0) и расположенный в первом координатном углу.

в) $y=x(\sqrt{x})^2$

1. Область определения функции (ОДЗ). Наличие множителя $\sqrt{x}$ определяет область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Значит, $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Упрощение функции. На области определения $x \ge 0$ имеем $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставляем это в исходное уравнение: $y = x \cdot x = x^2$.

3. Построение графика. Строим график функции $y=x^2$ при условии $x \ge 0$. Это правая ветвь стандартной параболы, вершина которой находится в начале координат (0,0), и которая проходит через точки (1,1), (2,4) и т.д.

Ответ: Графиком функции является ветвь параболы $y=x^2$, расположенная в первом координатном углу, с вершиной в начале координат.

г) $y=x\sqrt{x^2}$

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем $x^2$ неотрицательно при любых действительных $x$. Множитель $x$ также определен для всех $x$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение функции. Как и в пункте а), $\sqrt{x^2} = |x|$. Функция принимает вид: $y = x|x|$.

3. Построение графика. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция становится $y = x \cdot x = x^2$. На этом промежутке график представляет собой правую ветвь параболы $y=x^2$.
• При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция становится $y = x \cdot (-x) = -x^2$. На этом промежутке график представляет собой левую ветвь параболы $y=-x^2$, расположенную в третьем координатном углу.

График состоит из двух "склеенных" в точке (0,0) параболических ветвей.

Ответ: График функции состоит из двух частей: ветви параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ при $x < 0$.

388 ИССЛЕДУЕМ

1) Заметьте закономерность и запишите следующие три числа в последовательности: $2\frac{2}{3}, 3\frac{3}{8}, 4\frac{4}{15}, 5\frac{5}{24}, \ldots$

2) Проверьте равенства: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$.

Составьте несколько аналогичных равенств.

3) Запишите соответствующее равенство в буквенном виде и докажите его.

1) Заметьте закономерность и запишите следующие три числа в последовательности: $2\frac{2}{3}, 3\frac{3}{8}, 4\frac{4}{15}, 5\frac{5}{24}, ...$

Для нахождения закономерности проанализируем n-й член последовательности, который обозначим как $a_n$. Каждый член последовательности является смешанным числом.

Целая часть n-го члена равна $n+1$.
Дробная часть n-го члена имеет вид $\frac{c_n}{d_n}$, где числитель $c_n$ также равен $n+1$.
Знаменатели $d_n$ образуют последовательность: 3, 8, 15, 24, ... Можно заметить, что эта последовательность описывается формулой $d_n = (n+1)^2-1$.
Проверим:
для $n=1$: $d_1 = (1+1)^2-1 = 4-1 = 3$
для $n=2$: $d_2 = (2+1)^2-1 = 9-1 = 8$
для $n=3$: $d_3 = (3+1)^2-1 = 16-1 = 15$
для $n=4$: $d_4 = (4+1)^2-1 = 25-1 = 24$

Таким образом, общая формула для n-го члена последовательности: $a_n = (n+1)\frac{n+1}{(n+1)^2-1}$.

Найдем следующие три члена, которые соответствуют значениям $n=5, n=6, n=7$.
Для $n=5$: $a_5 = (5+1)\frac{5+1}{(5+1)^2-1} = 6\frac{6}{36-1} = 6\frac{6}{35}$.
Для $n=6$: $a_6 = (6+1)\frac{6+1}{(6+1)^2-1} = 7\frac{7}{49-1} = 7\frac{7}{48}$.
Для $n=7$: $a_7 = (7+1)\frac{7+1}{(7+1)^2-1} = 8\frac{8}{64-1} = 8\frac{8}{63}$.

Ответ: $6\frac{6}{35}, 7\frac{7}{48}, 8\frac{8}{63}$.

2) Проверьте равенства: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$, $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$. Составьте несколько аналогичных равенств.

Проверим каждое равенство, преобразуя смешанные числа в неправильные дроби и упрощая выражения.

Первое равенство: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$
Левая часть: $\sqrt{2\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.
Правая часть: $2\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.
Равенство верно.

Второе равенство: $\sqrt{3\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}$
Левая часть: $\sqrt{3\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8 + 3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$.
Правая часть: $3\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{9 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{27}{8}}$.
Равенство верно.

Третье равенство: $\sqrt{4\frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}$
Левая часть: $\sqrt{4\frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 15 + 4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$.
Правая часть: $4\sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{4^2 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{16 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}}$.
Равенство верно.

Аналогичные равенства можно составить, используя следующие члены последовательности, найденной в пункте 1:

$\sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}$
$\sqrt{6\frac{6}{35}} = 6\sqrt{\frac{6}{35}}$
$\sqrt{7\frac{7}{48}} = 7\sqrt{\frac{7}{48}}$

Ответ: все заданные равенства верны; примеры аналогичных равенств: $\sqrt{5\frac{5}{24}} = 5\sqrt{\frac{5}{24}}$, $\sqrt{6\frac{6}{35}} = 6\sqrt{\frac{6}{35}}$, $\sqrt{7\frac{7}{48}} = 7\sqrt{\frac{7}{48}}$.

3) Запишите соответствующее равенство в буквенном виде и докажите его.

На основе выявленной закономерности, общее равенство можно записать в следующем буквенном виде:
$\sqrt{a\frac{a}{a^2-1}} = a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$, где $a$ – любое целое число, большее 1.
Поскольку смешанное число $x\frac{y}{z}$ равно сумме $x + \frac{y}{z}$, равенство можно представить так:
$\sqrt{a + \frac{a}{a^2-1}} = a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$

Доказательство:
Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части.
Левая часть (Л.Ч.):
$\sqrt{a + \frac{a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a(a^2-1) + a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a^3 - a + a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a^3}{a^2-1}}$.
Правая часть (П.Ч.):
$a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$. Так как по условию $a > 1$, то $a$ — положительное число, и его можно внести под знак корня, возведя в квадрат:
$a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{a}{a^2-1}} = \sqrt{\frac{a^3}{a^2-1}}$.
Левая и правая части тождества равны (Л.Ч. = П.Ч.), что и требовалось доказать.

Ответ: равенство в буквенном виде: $\sqrt{a\frac{a}{a^2-1}} = a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}$ для любого целого $a>1$. Доказательство приведено выше.