Номер 387, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 387, страница 104.

Условие.

387 Постройте график зависимости:

а) $y = \sqrt{x^2}$;

б) $y = (\sqrt{x})^2$;

в) $y = x(\sqrt{x})^2$;

г) $y = x\sqrt{x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y=\sqrt{x^2}$

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня, $x^2$, должно быть неотрицательным. Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ всегда больше или равен нулю ($x^2 \ge 0$), область определения данной функции включает все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение функции. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это правило, получаем: $y = |x|$.

3. Построение графика. График функции $y = |x|$ (модуль $x$) хорошо известен. Он состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:

• При $x \ge 0$, $|x| = x$, поэтому $y = x$. Это биссектриса первого координатного угла.
• При $x < 0$, $|x| = -x$, поэтому $y = -x$. Это биссектриса второго координатного угла.

Ответ: Графиком функции является объединение двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Это график модуля $x$.

б) $y=(\sqrt{x})^2$

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня, $x$, должно быть неотрицательным. Следовательно, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Упрощение функции. Для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$) выполняется тождество $(\sqrt{x})^2 = x$. Таким образом, функция принимает вид $y = x$.

3. Построение графика. Необходимо построить график функции $y = x$ с учетом её области определения $x \ge 0$. Это луч, который начинается в точке (0, 0) и является биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: Графиком функции является луч $y=x$, начинающийся в точке (0,0) и расположенный в первом координатном углу.

в) $y=x(\sqrt{x})^2$

1. Область определения функции (ОДЗ). Наличие множителя $\sqrt{x}$ определяет область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Значит, $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Упрощение функции. На области определения $x \ge 0$ имеем $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставляем это в исходное уравнение: $y = x \cdot x = x^2$.

3. Построение графика. Строим график функции $y=x^2$ при условии $x \ge 0$. Это правая ветвь стандартной параболы, вершина которой находится в начале координат (0,0), и которая проходит через точки (1,1), (2,4) и т.д.

Ответ: Графиком функции является ветвь параболы $y=x^2$, расположенная в первом координатном углу, с вершиной в начале координат.

г) $y=x\sqrt{x^2}$

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем $x^2$ неотрицательно при любых действительных $x$. Множитель $x$ также определен для всех $x$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение функции. Как и в пункте а), $\sqrt{x^2} = |x|$. Функция принимает вид: $y = x|x|$.

3. Построение графика. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция становится $y = x \cdot x = x^2$. На этом промежутке график представляет собой правую ветвь параболы $y=x^2$.
• При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция становится $y = x \cdot (-x) = -x^2$. На этом промежутке график представляет собой левую ветвь параболы $y=-x^2$, расположенную в третьем координатном углу.

График состоит из двух "склеенных" в точке (0,0) параболических ветвей.

Ответ: График функции состоит из двух частей: ветви параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ при $x < 0$.