Номер 382, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2022
Цвет обложки: белый, бирюзовый, оранжевый
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 382, страница 103.
№382 (с. 103)
Условие. №382 (с. 103)
скриншот условия

382 Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):
a) $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a}$
б) $\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y}$
Решение 1. №382 (с. 103)


Решение 2. №382 (с. 103)

Решение 3. №382 (с. 103)

Решение 4. №382 (с. 103)
а) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a} $, где $a$ и $b$ — положительные числа.
Для начала преобразуем каждый член выражения, используя свойства квадратных корней ($ \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} $) и тот факт, что для любого положительного числа $z$ выполняется равенство $z = (\sqrt{z})^2$.
1. Первый член: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.
2. Второй член: $ \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.
3. Третий член: $ \frac{\sqrt{ab}}{a} $. Заменим $a$ на $(\sqrt{a})^2$ и $ \sqrt{ab} $ на $ \sqrt{a}\sqrt{b} $: $ \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.
Теперь подставим преобразованные члены обратно в исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.
Видно, что второй и третий члены являются противоположными и в сумме дают ноль: $ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = 0 $.
Следовательно, все выражение упрощается до первого члена: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $, что также можно записать в виде $ \sqrt{\frac{a}{b}} $.
Ответ: $ \sqrt{\frac{a}{b}} $.
б) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y} $, где $x$ и $y$ — положительные числа.
Преобразуем каждый член выражения по аналогии с предыдущим пунктом.
1. $ \sqrt{\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} $.
2. $ \sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} $.
3. $ \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{x}} $.
4. $ \frac{\sqrt{y}}{y} = \frac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y})^2} = \frac{1}{\sqrt{y}} $.
Подставим полученные выражения в исходное: $ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} $.
Сгруппируем подобные слагаемые: $ \left(\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{y}}\right) $.
Выполним вычисления: $ 0 + \frac{2}{\sqrt{y}} = \frac{2}{\sqrt{y}} $.
Для приведения ответа к стандартному виду избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{y} $: $ \frac{2 \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{2\sqrt{y}}{y} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{y}}{y} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 382 расположенного на странице 103 к учебнику 2019 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №382 (с. 103), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.