Номер 382, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 382, страница 103.

Условие.

382 Упростите выражение (буквами обозначены положительные числа):

a) $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a}$

б) $\sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{\sqrt{ab}}{a} $, где $a$ и $b$ — положительные числа.

Для начала преобразуем каждый член выражения, используя свойства квадратных корней ($ \sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} $) и тот факт, что для любого положительного числа $z$ выполняется равенство $z = (\sqrt{z})^2$.

1. Первый член: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.

2. Второй член: $ \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.

3. Третий член: $ \frac{\sqrt{ab}}{a} $. Заменим $a$ на $(\sqrt{a})^2$ и $ \sqrt{ab} $ на $ \sqrt{a}\sqrt{b} $: $ \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.

Теперь подставим преобразованные члены обратно в исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} $.

Видно, что второй и третий члены являются противоположными и в сумме дают ноль: $ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = 0 $.

Следовательно, все выражение упрощается до первого члена: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $, что также можно записать в виде $ \sqrt{\frac{a}{b}} $.

Ответ: $ \sqrt{\frac{a}{b}} $.

б) Упростим выражение $ \sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{y}} - \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{y}}{y} $, где $x$ и $y$ — положительные числа.

Преобразуем каждый член выражения по аналогии с предыдущим пунктом.

1. $ \sqrt{\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} $.

2. $ \sqrt{\frac{1}{y}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} $.

3. $ \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{x}} $.

4. $ \frac{\sqrt{y}}{y} = \frac{\sqrt{y}}{(\sqrt{y})^2} = \frac{1}{\sqrt{y}} $.

Подставим полученные выражения в исходное: $ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} $.

Сгруппируем подобные слагаемые: $ \left(\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{y}}\right) $.

Выполним вычисления: $ 0 + \frac{2}{\sqrt{y}} = \frac{2}{\sqrt{y}} $.

Для приведения ответа к стандартному виду избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{y} $: $ \frac{2 \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{2\sqrt{y}}{y} $.

Ответ: $ \frac{2\sqrt{y}}{y} $.