Номер 376, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 376, страница 102.

Условие.

376 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Верно ли равенство:

а) $\sqrt{7 - \sqrt{40}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$;

б) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}};$

в) $1 - 2\sqrt{7} = \sqrt{29 - 4\sqrt{7}};$

г) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы проверить верность равенства $\sqrt{7 - \sqrt{40}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$, возведем обе его части в квадрат. Перед этим необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак.
Правая часть: $\sqrt{5} - \sqrt{2}$. Так как $5 > 2$, то $\sqrt{5} > \sqrt{2}$, следовательно, выражение $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ положительно.
Левая часть: $\sqrt{7 - \sqrt{40}}$. Так как $7 = \sqrt{49}$, а $\sqrt{40} < \sqrt{49}$, то подкоренное выражение $7 - \sqrt{40}$ положительно. Значит, значение левой части также положительно.
Поскольку обе части равенства положительны, можно сравнивать их квадраты.
Квадрат левой части: $(\sqrt{7 - \sqrt{40}})^2 = 7 - \sqrt{40}$. Упростим $\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$. Таким образом, квадрат левой части равен $7 - 2\sqrt{10}$.
Квадрат правой части: $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$.
Квадраты обеих частей равны. Следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: верно.

б) Проверим равенство $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$.
Обе части этого равенства очевидно положительны. Возведем обе части в квадрат.
Квадрат левой части: $(\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 = 2 + \sqrt{3}$.
Квадрат правой части: $(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Так как квадраты обеих частей равны и сами части положительны, равенство верно.
Альтернативный способ — преобразовать левую часть по формуле сложного радикала. Для этого представим выражение под корнем в виде, удобном для выделения полного квадрата: $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$.
Выражение $4 + 2\sqrt{3}$ можно представить как квадрат суммы: $4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3 \cdot 1} + 1 = (\sqrt{3} + 1)^2$.
Тогда $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$.
Подставляя это обратно, получаем: $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$.
Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

в) Проверим равенство $1 - 2\sqrt{7} = \sqrt{29 - 4\sqrt{7}}$.
Оценим знак левой части. $2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$. Поскольку $1 = \sqrt{1}$ и $\sqrt{28} > \sqrt{1}$, то $2\sqrt{7} > 1$. Значит, $1 - 2\sqrt{7}$ — отрицательное число.
Правая часть, $\sqrt{29 - 4\sqrt{7}}$, по определению арифметического квадратного корня, является неотрицательным числом (т.е. $\ge 0$).
Отрицательное число не может равняться неотрицательному. Таким образом, равенство неверно.
Можно также заметить, что $(1 - 2\sqrt{7})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 1 - 4\sqrt{7} + 28 = 29 - 4\sqrt{7}$.
Тогда $\sqrt{29 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{(1 - 2\sqrt{7})^2} = |1 - 2\sqrt{7}|$. Так как $1 - 2\sqrt{7} < 0$, то $|1 - 2\sqrt{7}| = -(1 - 2\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} - 1$.
Следовательно, верным было бы равенство $2\sqrt{7} - 1 = \sqrt{29 - 4\sqrt{7}}$.
Ответ: неверно.

г) Проверим равенство $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.
Сначала проверим знаки обеих частей. В левой части $\sqrt{3} > 1$, поэтому числитель $\sqrt{3}-1$ положителен, знаменатель $\sqrt{2}$ также положителен, значит, вся дробь положительна. В правой части $2 > \sqrt{3}$ (так как $4>3$), поэтому подкоренное выражение $2-\sqrt{3}$ положительно, и его корень также положителен.
Обе части положительны, поэтому можно возвести их в квадрат.
Квадрат левой части: $(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Квадрат правой части: $(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2 = 2 - \sqrt{3}$.
Квадраты частей равны, следовательно, исходное равенство верно.
Ответ: верно.