Номер 370, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 370, страница 102.

Условие.

370 Сократите дробь:

а) $ \frac{3\sqrt{8} - 2\sqrt{12} + \sqrt{20}}{3\sqrt{18} - 2\sqrt{27} + \sqrt{45}} $;

б) $ \frac{\sqrt{28} - 2\sqrt{18} - 2\sqrt{12}}{6\sqrt{32} + 4\sqrt{48} - 8\sqrt{7}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана дробь $\frac{3\sqrt{8}-2\sqrt{12}+\sqrt{20}}{3\sqrt{18}-2\sqrt{27}+\sqrt{45}}$. Для ее сокращения необходимо упростить иррациональные выражения в числителе и знаменателе.

Сначала упростим числитель, вынеся множители из-под знака корня:
$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$
Таким образом, числитель равен $6\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5}$.

Теперь упростим знаменатель:
$3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \cdot 2} = 3 \cdot 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
$2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
Таким образом, знаменатель равен $9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{6\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5}}{9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5}}$

Вынесем общий множитель в числителе (2) и в знаменателе (3):
$\frac{2(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})}{3(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})}$

Сократим дробь на общий множитель $(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})$:
$\frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) Дана дробь $\frac{\sqrt{28}-2\sqrt{18}-2\sqrt{12}}{6\sqrt{32}+4\sqrt{48}-8\sqrt{7}}$. Упростим выражения в числителе и знаменателе.

Упростим числитель:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$
$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
Числитель равен $2\sqrt{7} - 6\sqrt{2} - 4\sqrt{3}$.

Упростим знаменатель:
$6\sqrt{32} = 6\sqrt{16 \cdot 2} = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$
$4\sqrt{48} = 4\sqrt{16 \cdot 3} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$
Знаменатель равен $24\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - 8\sqrt{7}$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{2\sqrt{7} - 6\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{24\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - 8\sqrt{7}}$

Вынесем общие множители за скобки. В числителе это 2, а в знаменателе - 8:
$\frac{2(\sqrt{7} - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})}{8(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})}$

Заметим, что выражение в скобках в числителе является противоположным выражению в скобках в знаменателе:
$(\sqrt{7} - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = - (3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})$
Подставим это в дробь:
$\frac{2 \cdot [-(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})]}{8(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})}$

Сократим на общий множитель $(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{7})$ и на 2:
$\frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}$.