Номер 377, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 2. Квадратные корни. 2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни - номер 377, страница 103.

Условие.

377 Упростите выражение:

a) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$;

б) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей исходных дробей: $(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их. Дополнительный множитель для первой дроби – $(\sqrt{6}-\sqrt{5})$, для второй – $(\sqrt{6}+\sqrt{5})$.

$\frac{1 \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})} + \frac{1 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{5}) + (\sqrt{6}+\sqrt{5})}{1}$.

Сложим выражения в числителе:

$\sqrt{6}-\sqrt{5} + \sqrt{6}+\sqrt{5} = 2\sqrt{6}$.

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{2\sqrt{6}}{1} = 2\sqrt{6}$.

Ответ: $2\sqrt{6}$.

б) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$, так же как и в предыдущем пункте, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$. Используя формулу разности квадратов, получаем:

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби – $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$, для второй – $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$.

$\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} - \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{1}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$.

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Подставим полученные значения в выражение и выполним вычитание:

$(5 - 2\sqrt{6}) - (5 + 2\sqrt{6}) = 5 - 2\sqrt{6} - 5 - 2\sqrt{6} = -4\sqrt{6}$.

Ответ: $-4\sqrt{6}$.