Номер 371, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 371, страница 102.

Условие.

Упростите выражение (371—372).

371 а) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})$;

б) $(\sqrt{32} - 3\sqrt{12})(2\sqrt{8} + \sqrt{108})$;

в) $(3\sqrt{5} - 2\sqrt{6})^2$;

г) $(2 - \sqrt{6})^2 - (5 + \sqrt{2})^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})$

Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 3\sqrt{2}$.

Применим формулу:

$(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2 = (2^2 \cdot (\sqrt{3})^2) - (3^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = (4 \cdot 3) - (9 \cdot 2) = 12 - 18 = -6$.

Ответ: $-6$

б) $(\sqrt{32} - 3\sqrt{12})(2\sqrt{8} + \sqrt{108})$

Сначала упростим корни, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

$3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \cdot 3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(4\sqrt{2} - 6\sqrt{3})(4\sqrt{2} + 6\sqrt{3})$

Это выражение также является разностью квадратов $(a-b)(a+b)$ с $a = 4\sqrt{2}$ и $b = 6\sqrt{3}$.

$(4\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2 = (4^2 \cdot (\sqrt{2})^2) - (6^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = (16 \cdot 2) - (36 \cdot 3) = 32 - 108 = -76$.

Ответ: $-76$

в) $(3\sqrt{5} - 2\sqrt{6})^2$

Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 3\sqrt{5}$ и $b = 2\sqrt{6}$.

$(3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{6}) + (2\sqrt{6})^2$

Вычислим каждый член выражения:

$(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$

$2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{6} = 12\sqrt{5 \cdot 6} = 12\sqrt{30}$

$(2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$

Соберем все вместе:

$45 - 12\sqrt{30} + 24 = (45+24) - 12\sqrt{30} = 69 - 12\sqrt{30}$.

Ответ: $69 - 12\sqrt{30}$

г) $(2 - \sqrt{6})^2 - (5 + \sqrt{2})^2$

Раскроем каждую скобку по формулам сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(2 - \sqrt{6})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 4 - 4\sqrt{6} + 6 = 10 - 4\sqrt{6}$.

$(5 + \sqrt{2})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 25 + 10\sqrt{2} + 2 = 27 + 10\sqrt{2}$.

Теперь вычтем второе полученное выражение из первого:

$(10 - 4\sqrt{6}) - (27 + 10\sqrt{2}) = 10 - 4\sqrt{6} - 27 - 10\sqrt{2}$.

Приведем подобные слагаемые:

$(10 - 27) - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2} = -17 - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2}$.

Ответ: $-17 - 4\sqrt{6} - 10\sqrt{2}$