Номер 374, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 374, страница 102.

Условие.

374 Упростите:

a) $ \left(\sqrt{10-\sqrt{19}} + \sqrt{10+\sqrt{19}}\right)^2; $

б) $ \left(\sqrt{2\sqrt{5}+4} - \sqrt{2\sqrt{5}-4}\right)^2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{10 - \sqrt{19}}$ и $b = \sqrt{10 + \sqrt{19}}$.

Найдем квадраты каждого слагаемого:

$a^2 = (\sqrt{10 - \sqrt{19}})^2 = 10 - \sqrt{19}$

$b^2 = (\sqrt{10 + \sqrt{19}})^2 = 10 + \sqrt{19}$

Теперь найдем их удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt{10 + \sqrt{19}} = 2 \cdot \sqrt{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})}$

Выражение под корнем представляет собой разность квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=10$ и $y=\sqrt{19}$.

$(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81$.

Следовательно, $2ab = 2 \cdot \sqrt{81} = 2 \cdot 9 = 18$.

Подставим все найденные значения в формулу квадрата суммы:

$(\sqrt{10 - \sqrt{19}} + \sqrt{10 + \sqrt{19}})^2 = a^2 + b^2 + 2ab = (10 - \sqrt{19}) + (10 + \sqrt{19}) + 18$.

Сокращаем взаимно уничтожающиеся слагаемые $-\sqrt{19}$ и $+\sqrt{19}$ и складываем числа:

$10 + 10 + 18 = 38$.

Ответ: $38$.

б)

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой квадрата разности двух чисел: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{2\sqrt{5} + 4}$ и $b = \sqrt{2\sqrt{5} - 4}$.

Убедимся, что подкоренные выражения неотрицательны. $2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$. Поскольку $4 = \sqrt{16}$, то $\sqrt{20} > \sqrt{16}$, следовательно $2\sqrt{5} - 4 > 0$.

Найдем квадраты $a$ и $b$:

$a^2 = (\sqrt{2\sqrt{5} + 4})^2 = 2\sqrt{5} + 4$

$b^2 = (\sqrt{2\sqrt{5} - 4})^2 = 2\sqrt{5} - 4$

Теперь найдем их удвоенное произведение $2ab$:

$2ab = 2 \cdot \sqrt{2\sqrt{5} + 4} \cdot \sqrt{2\sqrt{5} - 4} = 2 \cdot \sqrt{(2\sqrt{5} + 4)(2\sqrt{5} - 4)}$.

Выражение под корнем является разностью квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=2\sqrt{5}$ и $y=4$.

$(2\sqrt{5} + 4)(2\sqrt{5} - 4) = (2\sqrt{5})^2 - 4^2 = (4 \cdot 5) - 16 = 20 - 16 = 4$.

Следовательно, $2ab = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Подставим все найденные значения в формулу квадрата разности:

$(\sqrt{2\sqrt{5} + 4} - \sqrt{2\sqrt{5} - 4})^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (2\sqrt{5} + 4) - 4 + (2\sqrt{5} - 4)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{5} + 4 - 4 + 2\sqrt{5} - 4 = (2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) + (4 - 4 - 4) = 4\sqrt{5} - 4$.

Ответ: $4\sqrt{5} - 4$.