Номер 369, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 369, страница 102.

Условие.

369 a) $ \sqrt{9x} - \sqrt{4x} - \sqrt{16y} + \sqrt{9y} $

б) $ \sqrt{0,25m} - \sqrt{0,25n} + \sqrt{0,16n} - \sqrt{0,16m} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо вынести множители из-под знака корня и привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми в данном случае будут те, у которых одинаковое подкоренное выражение.

Исходное выражение: $\sqrt{9x} - \sqrt{4x} - \sqrt{16y} + \sqrt{9y}$

Воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (при $a \ge 0, b \ge 0$).

Упростим каждый член выражения:

$\sqrt{9x} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{x} = 3\sqrt{x}$

$\sqrt{4x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2\sqrt{x}$

$\sqrt{16y} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{y} = 4\sqrt{y}$

$\sqrt{9y} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{y} = 3\sqrt{y}$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$3\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 4\sqrt{y} + 3\sqrt{y}$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3\sqrt{x} - 2\sqrt{x}) + (-4\sqrt{y} + 3\sqrt{y}) = (3-2)\sqrt{x} + (-4+3)\sqrt{y} = 1 \cdot \sqrt{x} - 1 \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$

Ответ: $\sqrt{x} - \sqrt{y}$

б) Упростим выражение аналогичным образом, вынося числовые множители из-под знака корня.

Исходное выражение: $\sqrt{0,25m} - \sqrt{0,25n} + \sqrt{0,16n} - \sqrt{0,16m}$

Упростим каждый член выражения, зная, что $\sqrt{0,25} = 0,5$ и $\sqrt{0,16} = 0,4$.

$\sqrt{0,25m} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{m} = 0,5\sqrt{m}$

$\sqrt{0,25n} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{n} = 0,5\sqrt{n}$

$\sqrt{0,16n} = \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{n} = 0,4\sqrt{n}$

$\sqrt{0,16m} = \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{m} = 0,4\sqrt{m}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$0,5\sqrt{m} - 0,5\sqrt{n} + 0,4\sqrt{n} - 0,4\sqrt{m}$

Сгруппируем подобные слагаемые (отдельно с $\sqrt{m}$ и отдельно с $\sqrt{n}$):

$(0,5\sqrt{m} - 0,4\sqrt{m}) + (-0,5\sqrt{n} + 0,4\sqrt{n})$

Приведем подобные, выполнив действия с коэффициентами:

$(0,5 - 0,4)\sqrt{m} + (-0,5 + 0,4)\sqrt{n} = 0,1\sqrt{m} - 0,1\sqrt{n}$

Можно также вынести общий множитель $0,1$ за скобки: $0,1(\sqrt{m} - \sqrt{n})$.

Ответ: $0,1\sqrt{m} - 0,1\sqrt{n}$