Номер 362, страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 362, страница 101.

Условие.

362 Найдите площадь прямоугольника, если:

а) его периметр равен 6 см, а одна из сторон $\sqrt{2}$ см;

б) его периметр равен 14 см, а одна из сторон $3 + \sqrt{2}$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, а его площадь по формуле $S = a \cdot b$.
По условию задачи, периметр $P = 6$ см, а одна из сторон, например $a$, равна $\sqrt{2}$ см. Подставим эти значения в формулу периметра, чтобы найти длину второй стороны $b$:
$6 = 2(\sqrt{2} + b)$
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$3 = \sqrt{2} + b$
Отсюда $b = 3 - \sqrt{2}$ см.
Теперь, зная длины обеих сторон, можем вычислить площадь:
$S = a \cdot b = \sqrt{2} \cdot (3 - \sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} - 2$ см².

Ответ: $3\sqrt{2} - 2$ см².

б) По условию, периметр прямоугольника $P = 14$ см, а одна из его сторон, пусть $a$, равна $3 + \sqrt{2}$ см.
Найдем вторую сторону $b$, используя формулу периметра $P = 2(a + b)$:
$14 = 2((3 + \sqrt{2}) + b)$
Разделим обе части на 2:
$7 = 3 + \sqrt{2} + b$
Отсюда $b = 7 - (3 + \sqrt{2}) = 7 - 3 - \sqrt{2} = 4 - \sqrt{2}$ см.
Теперь вычислим площадь, перемножив стороны:
$S = a \cdot b = (3 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{2})$
Раскроем скобки:
$S = 3 \cdot 4 - 3 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 4 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12 - 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2$
Приведем подобные слагаемые:
$S = (12 - 2) + (4\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) = 10 + \sqrt{2}$ см².

Ответ: $10 + \sqrt{2}$ см².