Номер 355, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.7. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Глава 2. Квадратные корни - номер 355, страница 100.

Условие.

355 РАССУЖДАЕМ Рациональным или иррациональным является значение выражения:

а) $10\sqrt{3} + 4 - \sqrt{300};$

б) $\sqrt{162} - 10\sqrt{2} + \sqrt{27};$

в) $3\sqrt{28} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5};$

г) $\sqrt{48} - 5 - 4\sqrt{3}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы определить, является ли значение выражения $10\sqrt{3} + 4 - \sqrt{300}$ рациональным или иррациональным, необходимо его упростить. Упростим слагаемое $\sqrt{300}$, вынеся множитель из-под знака корня.
Представим подкоренное выражение 300 в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом: $300 = 100 \cdot 3 = 10^2 \cdot 3$.
Тогда $\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$10\sqrt{3} + 4 - 10\sqrt{3} = (10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}) + 4 = 0 + 4 = 4$.
В результате мы получили число 4. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби (например, $4 = \frac{4}{1}$).
Ответ: рациональным.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{162} - 10\sqrt{2} + \sqrt{27}$. Для определения его рациональности упростим корни $\sqrt{162}$ и $\sqrt{27}$.
Вынесем множитель из-под знака корня для $\sqrt{162}$:
$162 = 81 \cdot 2 = 9^2 \cdot 2$, следовательно, $\sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{2}$.
Вынесем множитель из-под знака корня для $\sqrt{27}$:
$27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3$, следовательно, $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные значения в выражение:
$9\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = (9\sqrt{2} - 10\sqrt{2}) + 3\sqrt{3} = -\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$.
Результатом является число $-\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ являются иррациональными числами, их линейная комбинация с ненулевыми рациональными коэффициентами также является иррациональным числом.
Ответ: иррациональным.

в) Рассмотрим выражение $3\sqrt{28} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$. Упростим его, начав с $\sqrt{28}$.
Представим 28 как произведение $4 \cdot 7$:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$3 \cdot (2\sqrt{7}) + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = 6\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6\sqrt{7} + 2\sqrt{7}) - 2\sqrt{5} = 8\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$.
В результате получилось выражение $8\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$. Числа $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$ являются иррациональными. Их линейная комбинация с ненулевыми рациональными коэффициентами является иррациональным числом.
Ответ: иррациональным.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{48} - 5 - 4\sqrt{3}$. Упростим корень $\sqrt{48}$.
Вынесем множитель из-под знака корня. Представим 48 как $16 \cdot 3$:
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Подставим упрощенное значение обратно в выражение:
$4\sqrt{3} - 5 - 4\sqrt{3} = (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) - 5 = 0 - 5 = -5$.
Результатом является целое число -5. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби (например, $-5 = \frac{-5}{1}$).
Ответ: рациональным.