Номер 349, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 349, страница 97.

Условие.

349 Упростите выражение:

а) $(2a\sqrt{3a})^2$;

б) $(5b\sqrt{6b})^2$;

в) $2x \cdot (\sqrt{8x})^2$;

г) $(y\sqrt{2y})^3$;

д) $3m(\sqrt{2m})^3$;

е) $\frac{(\sqrt{6n})^3}{(\sqrt{2n})^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $(2a\sqrt{3a})^2$, воспользуемся свойством степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$. Также применим свойство $(\sqrt{x})^2 = x$ для $x \ge 0$.
$(2a\sqrt{3a})^2 = (2)^2 \cdot a^2 \cdot (\sqrt{3a})^2 = 4 \cdot a^2 \cdot 3a$.
Перемножим числовые коэффициенты и степени переменной $a$:
$4 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot a = 12 \cdot a^{2+1} = 12a^3$.
Данное преобразование верно при условии, что подкоренное выражение неотрицательно: $3a \ge 0$, то есть $a \ge 0$.
Ответ: $12a^3$.

б) Упростим выражение $(5b\sqrt{6b})^2$. Используем те же свойства, что и в предыдущем пункте.
$(5b\sqrt{6b})^2 = 5^2 \cdot b^2 \cdot (\sqrt{6b})^2 = 25 \cdot b^2 \cdot 6b$.
Выполним умножение:
$25 \cdot 6 \cdot b^2 \cdot b = 150 \cdot b^{2+1} = 150b^3$.
Условие для преобразования: $6b \ge 0$, то есть $b \ge 0$.
Ответ: $150b^3$.

в) Упростим выражение $2x \cdot (\sqrt{8x})^2$.
Сначала возведем в квадрат корень: $(\sqrt{8x})^2 = 8x$. Это верно при $8x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.
Теперь умножим результат на $2x$:
$2x \cdot 8x = 16x^2$.
Ответ: $16x^2$.

г) Упростим выражение $(y\sqrt{2y})^3$.
Воспользуемся свойством степени произведения: $(y\sqrt{2y})^3 = y^3 \cdot (\sqrt{2y})^3$.
Распишем $(\sqrt{2y})^3$:
$(\sqrt{2y})^3 = \sqrt{2y} \cdot \sqrt{2y} \cdot \sqrt{2y} = (\sqrt{2y})^2 \cdot \sqrt{2y} = 2y\sqrt{2y}$.
Подставим это в исходное выражение:
$y^3 \cdot (2y\sqrt{2y}) = 2 \cdot y^3 \cdot y \cdot \sqrt{2y} = 2 \cdot y^{3+1} \cdot \sqrt{2y} = 2y^4\sqrt{2y}$.
Условие для преобразования: $2y \ge 0$, то есть $y \ge 0$.
Ответ: $2y^4\sqrt{2y}$.

д) Упростим выражение $3m(\sqrt{2m})^3$.
Сначала упростим $(\sqrt{2m})^3$:
$(\sqrt{2m})^3 = (\sqrt{2m})^2 \cdot \sqrt{2m} = 2m\sqrt{2m}$.
Теперь умножим результат на $3m$:
$3m \cdot (2m\sqrt{2m}) = (3 \cdot 2) \cdot (m \cdot m) \cdot \sqrt{2m} = 6m^2\sqrt{2m}$.
Условие для преобразования: $2m \ge 0$, то есть $m \ge 0$.
Ответ: $6m^2\sqrt{2m}$.

е) Упростим выражение $\frac{(\sqrt{6n})^3}{(\sqrt{2n})^2}$.
Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $(\sqrt{6n})^3 = (\sqrt{6n})^2 \cdot \sqrt{6n} = 6n\sqrt{6n}$.
Знаменатель: $(\sqrt{2n})^2 = 2n$.
Теперь выполним деление:
$\frac{6n\sqrt{6n}}{2n}$.
Сократим дробь на $2n$. При этом $2n \neq 0$, следовательно $n \neq 0$. Также из определения корня $6n \ge 0$ и $2n \ge 0$, что означает $n \ge 0$. Объединяя условия, получаем $n > 0$.
$\frac{6n}{2n} \cdot \sqrt{6n} = 3\sqrt{6n}$.
Ответ: $3\sqrt{6n}$.