Номер 350, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 350, страница 97.

Условие.

350 РАССУЖДАЕМ Расположите в порядке возрастания:

а) $ \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2\sqrt{2}} $;

б) $ \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{1}{4} $;

в) $ \sqrt{\frac{3}{5}}, 2\sqrt{0.2}, 1 $;

г) $ 0.5, \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{4} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы расположить дроби $ \frac{1}{\sqrt{10}} $, $ \frac{1}{3} $, $ \frac{1}{2\sqrt{2}} $ в порядке возрастания, нужно сравнить их знаменатели. Для дробей с одинаковым числителем (в данном случае 1) действует правило: чем больше знаменатель, тем меньше дробь. Сравним знаменатели: $ \sqrt{10} $, $ 3 $ и $ 2\sqrt{2} $. Для удобства сравнения возведем все три числа в квадрат, так как они положительны и порядок неравенства при этом сохранится.
$ (\sqrt{10})^2 = 10 $
$ 3^2 = 9 $
$ (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 $
Сравнивая полученные квадраты, имеем: $ 8 < 9 < 10 $.
Это означает, что и сами знаменатели находятся в том же соотношении: $ 2\sqrt{2} < 3 < \sqrt{10} $.
Так как для дробей с одинаковым числителем порядок обратный порядку их знаменателей, получаем: $ \frac{1}{\sqrt{10}} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2\sqrt{2}} $.

б) Чтобы расположить дроби $ \frac{1}{3\sqrt{2}} $, $ \frac{1}{\sqrt{17}} $, $ \frac{1}{4} $ в порядке возрастания, сравним их знаменатели: $ 3\sqrt{2} $, $ \sqrt{17} $ и $ 4 $. Возведем их в квадрат:
$ (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 $
$ (\sqrt{17})^2 = 17 $
$ 4^2 = 16 $
Сравнивая квадраты, получаем: $ 16 < 17 < 18 $.
Следовательно, знаменатели в порядке возрастания располагаются так: $ 4 < \sqrt{17} < 3\sqrt{2} $.
Поскольку порядок дробей с числителем 1 обратен порядку их знаменателей, имеем: $ \frac{1}{3\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt{17}} < \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{1}{4} $.

в) Сравним числа $ \sqrt{\frac{3}{5}} $, $ 2\sqrt{0.2} $, $ 1 $. Для сравнения приведем все числа к виду $ \sqrt{a} $.
$ \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{0.6} $
$ 2\sqrt{0.2} = \sqrt{2^2 \cdot 0.2} = \sqrt{4 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} $
$ 1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1} $
Теперь сравним подкоренные выражения: $ 0.6 $, $ 0.8 $ и $ 1 $.
Очевидно, что $ 0.6 < 0.8 < 1 $.
Поскольку функция квадратного корня является возрастающей для положительных чисел, то и сами числа будут находиться в том же соотношении: $ \sqrt{0.6} < \sqrt{0.8} < \sqrt{1} $.
Следовательно, $ \sqrt{\frac{3}{5}} < 2\sqrt{0.2} < 1 $.
Ответ: $ \sqrt{\frac{3}{5}}, 2\sqrt{0.2}, 1 $.

г) Сравним числа $ 0.5 $, $ \frac{\sqrt{2}}{3} $, $ \frac{\sqrt{3}}{4} $. Так как все числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Порядок неравенства при этом не изменится.
$ (0.5)^2 = 0.25 = \frac{1}{4} $
$ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{3^2} = \frac{2}{9} $
$ \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{4^2} = \frac{3}{16} $
Теперь сравним полученные дроби: $ \frac{1}{4} $, $ \frac{2}{9} $ и $ \frac{3}{16} $. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4, 9 и 16 равен 144.
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 36}{4 \cdot 36} = \frac{36}{144} $
$ \frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 16}{9 \cdot 16} = \frac{32}{144} $
$ \frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 9}{16 \cdot 9} = \frac{27}{144} $
Сравнивая числители полученных дробей, получаем: $ 27 < 32 < 36 $.
Значит, $ \frac{27}{144} < \frac{32}{144} < \frac{36}{144} $, что соответствует $ \frac{3}{16} < \frac{2}{9} < \frac{1}{4} $.
Поскольку мы сравнивали квадраты положительных чисел, исходные числа располагаются в том же порядке: $ \frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{3} < 0.5 $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{3}, 0.5 $.