Номер 345, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 345, страница 97.

Условие.

345 Сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt{4x}}{4}$;

б) $\frac{\sqrt{8a}}{6}$;

в) $\frac{27}{\sqrt{81m}}$;

г) $\frac{20}{\sqrt{50y}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{4x}}{4}$, сначала упростим числитель, вынеся множитель из-под знака корня.

$\sqrt{4x} = \sqrt{4 \cdot x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2\sqrt{x}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{4x}}{4} = \frac{2\sqrt{x}}{4}$.

Сократим числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{2\sqrt{x}}{4} = \frac{\sqrt{x}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{x}}{2}$.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{8a}}{6}$. Упростим числитель, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого представим число 8 как произведение $4 \cdot 2$.

$\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a} = 2\sqrt{2a}$.

Подставим упрощенное выражение в исходную дробь:

$\frac{2\sqrt{2a}}{6}$.

Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{2\sqrt{2a}}{6} = \frac{\sqrt{2a}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2a}}{3}$.

в)

Для сокращения дроби $\frac{27}{\sqrt{81m}}$ упростим выражение в знаменателе.

Извлечем корень из множителей подкоренного выражения:

$\sqrt{81m} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{m} = 9\sqrt{m}$.

Подставим результат в знаменатель дроби:

$\frac{27}{9\sqrt{m}}$.

Сократим числитель и знаменатель на 9:

$\frac{27}{9\sqrt{m}} = \frac{3}{\sqrt{m}}$.

Для завершения упрощения избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{m}$:

$\frac{3}{\sqrt{m}} = \frac{3 \cdot \sqrt{m}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}} = \frac{3\sqrt{m}}{m}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{m}}{m}$.

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{20}{\sqrt{50y}}$, начнем с упрощения знаменателя.

Вынесем множитель из-под знака корня, представив 50 как $25 \cdot 2$:

$\sqrt{50y} = \sqrt{25 \cdot 2y} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2y} = 5\sqrt{2y}$.

Подставим упрощенный знаменатель в дробь:

$\frac{20}{5\sqrt{2y}}$.

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{20}{5\sqrt{2y}} = \frac{4}{\sqrt{2y}}$.

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2y}$:

$\frac{4}{\sqrt{2y}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2y}}{\sqrt{2y} \cdot \sqrt{2y}} = \frac{4\sqrt{2y}}{2y}$.

Наконец, сократим последнюю дробь на 2:

$\frac{4\sqrt{2y}}{2y} = \frac{2\sqrt{2y}}{y}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2y}}{y}$.