Номер 347, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 347, страница 97.

Условие.

347 a) $\sqrt{30 \cdot 66 \cdot 220}$;

б) $\sqrt{54 \cdot 48 \cdot 50}$;

В) $\sqrt{3^3 \cdot 12^5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{30 \cdot 66 \cdot 220}$ разложим подкоренные числа на простые множители, чтобы найти полные квадраты.

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

$66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

$220 = 22 \cdot 10 = (2 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5 \cdot 11$

Теперь подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt{30 \cdot 66 \cdot 220} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 11) \cdot (2^2 \cdot 5 \cdot 11)}$

Сгруппируем одинаковые множители:

$\sqrt{(2 \cdot 2 \cdot 2^2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (11 \cdot 11)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^2}$

Используем свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{x^{2n}} = x^n$:

$\sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{11^2} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 11^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$

Вычислим произведение:

$4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 12 \cdot 5 \cdot 11 = 60 \cdot 11 = 660$

Ответ: 660

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{54 \cdot 48 \cdot 50}$ разложим подкоренные числа на простые множители.

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

$50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt{54 \cdot 48 \cdot 50} = \sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (2^4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5^2)}$

Сгруппируем одинаковые множители:

$\sqrt{(2 \cdot 2^4 \cdot 2) \cdot (3^3 \cdot 3) \cdot 5^2} = \sqrt{2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^2}$

Извлечем корень из произведения:

$\sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5$

Вычислим произведение:

$8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$

Ответ: 360

в)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{3^3 \cdot 12^5}$ представим число 12 в виде произведения простых множителей, чтобы упростить подкоренное выражение.

$12 = 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2^2$

Тогда $12^5 = (3 \cdot 2^2)^5 = 3^5 \cdot (2^2)^5 = 3^5 \cdot 2^{10}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{3^3 \cdot 12^5} = \sqrt{3^3 \cdot (3^5 \cdot 2^{10})}$

Сгруппируем множители с одинаковым основанием:

$\sqrt{(3^3 \cdot 3^5) \cdot 2^{10}} = \sqrt{3^{3+5} \cdot 2^{10}} = \sqrt{3^8 \cdot 2^{10}}$

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{3^8} \cdot \sqrt{2^{10}} = 3^{8/2} \cdot 2^{10/2} = 3^4 \cdot 2^5$

Вычислим степени и их произведение:

$3^4 = 81$

$2^5 = 32$

$81 \cdot 32 = 2592$

Ответ: 2592