Номер 342, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 342, страница 96.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (342–343)

342 Сравните значения выражений:

а) $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{8}$;

б) $\sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$;

в) $2\sqrt{6}$ и $3\sqrt{3}$;

г) $2\sqrt{\frac{1}{8}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{2}$;

д) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ и $3\sqrt{\frac{5}{3}}$;

е) $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сравнить значения выражений $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{8}$, приведем оба выражения к виду, где все числа находятся под знаком корня. Для этого в первом выражении внесем множитель 2 под знак корня. Так как $2$ — положительное число, мы можем записать его как $\sqrt{2^2} = \sqrt{4}$. Тогда $2\sqrt{3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$. Теперь сравним полученное выражение $\sqrt{12}$ с выражением $\sqrt{8}$. Поскольку функция квадратного корня является возрастающей, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Так как $12 > 8$, то и $\sqrt{12} > \sqrt{8}$. Следовательно, $2\sqrt{3}$ больше, чем $\sqrt{8}$.Ответ: $2\sqrt{3} > \sqrt{8}$.

б) Сравним $\sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$. Для этого внесем множитель 3 во втором выражении под знак корня: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$. Теперь сравним $\sqrt{45}$ и $\sqrt{45}$. Так как подкоренные выражения равны, то и сами выражения равны. Альтернативный способ — вынести множитель из-под знака корня в первом выражении: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$. Сравнивая $3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{5}$, мы также приходим к выводу, что они равны.Ответ: $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

в) Сравним $2\sqrt{6}$ и $3\sqrt{3}$. Для этого внесем множители под знак корня в обоих выражениях.Для первого выражения: $2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$.Для второго выражения: $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.Теперь сравним полученные выражения $\sqrt{24}$ и $\sqrt{27}$. Так как подкоренное выражение $24$ меньше, чем $27$, то $\sqrt{24} < \sqrt{27}$. Следовательно, $2\sqrt{6}$ меньше, чем $3\sqrt{3}$.Ответ: $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}$.

г) Сравним $2\sqrt{\frac{1}{8}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{2}$. Внесем множители под знаки корней.Для первого выражения: $2\sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{2^2 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$.Для второго выражения: $\frac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 2} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 2} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$.Поскольку подкоренные выражения равны, то и сами выражения равны.Ответ: $2\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$.

д) Сравним $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ и $3\sqrt{\frac{5}{3}}$. Внесем множители под знаки корней.Для первого выражения: $5\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15}$.Для второго выражения: $3\sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{9 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{15}$.Так как в результате преобразований мы получили одинаковые выражения $\sqrt{15}$, исходные выражения равны.Ответ: $5\sqrt{\frac{3}{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{3}}$.

е) Сравним $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{8}$. Внесем множители под знак корня.Для первого выражения: $\frac{1}{3}\sqrt{20} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 20} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{9}}$.Для второго выражения: $\frac{1}{2}\sqrt{8} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 8} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 8} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$.Теперь сравним подкоренные выражения $\frac{20}{9}$ и $2$. Так как $\frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}$, очевидно, что $\frac{20}{9} > 2$. Поскольку функция корня возрастающая, из $\frac{20}{9} > 2$ следует, что $\sqrt{\frac{20}{9}} > \sqrt{2}$. Следовательно, $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ больше, чем $\frac{1}{2}\sqrt{8}$.Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}$.