Страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

335 Являются ли данные числа взаимно обратными:

а) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\frac{5}{\sqrt{5}}$;

б) $\frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\sqrt{7}$ и $\frac{\sqrt{7}}{7}$;

г) $\frac{6}{\sqrt{7}}$ и $\frac{\sqrt{6}}{7}$?

Указание. Проверьте, равно ли произведение данных чисел единице.

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Чтобы проверить, являются ли данные пары чисел взаимно обратными, найдем их произведение для каждого случая.

а) Проверим числа $\frac{1}{\sqrt{5}}$ и $\frac{5}{\sqrt{5}}$.
Найдем их произведение:
$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot 5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{(\sqrt{5})^2} = \frac{5}{5} = 1$
Так как произведение равно 1, числа являются взаимно обратными.
Ответ: да.

б) Проверим числа $\frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем их произведение:
$\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{6}$
Так как произведение $\frac{\sqrt{6}}{6} \ne 1$, числа не являются взаимно обратными.
Ответ: нет.

в) Проверим числа $\sqrt{7}$ и $\frac{\sqrt{7}}{7}$.
Найдем их произведение:
$\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{7} = \frac{(\sqrt{7})^2}{7} = \frac{7}{7} = 1$
Так как произведение равно 1, числа являются взаимно обратными.
Ответ: да.

г) Проверим числа $\frac{6}{\sqrt{7}}$ и $\frac{\sqrt{6}}{7}$.
Найдем их произведение:
$\frac{6}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{7} = \frac{6 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{7} \cdot 7} = \frac{6\sqrt{6}}{7\sqrt{7}}$
Так как произведение $\frac{6\sqrt{6}}{7\sqrt{7}} \ne 1$, числа не являются взаимно обратными.
Ответ: нет.

Вынесите множитель из-под знака корня (336—337).

336 а) $ \sqrt{50} $;

в) $ \sqrt{27} $;

д) $ \sqrt{48} $;

ж) $ \sqrt{300} $;

б) $ \sqrt{45} $;

г) $ \sqrt{98} $;

е) $ \sqrt{20} $;

з) $ \sqrt{450} $.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{50}$, необходимо разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был точным квадратом. Число 50 можно представить как $25 \cdot 2$, где $25 = 5^2$.

Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, получаем:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Ответ: $5\sqrt{2}$.

б) Представим подкоренное выражение 45 в виде произведения множителей, один из которых — точный квадрат. $45 = 9 \cdot 5$, где $9 = 3^2$.

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Ответ: $3\sqrt{5}$.

в) Разложим число 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$. Множитель 9 является точным квадратом ($9 = 3^2$).

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{3}$.

г) Представим число 98 в виде произведения $49 \cdot 2$, где $49$ является точным квадратом числа 7 ($49 = 7^2$).

$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.

Ответ: $7\sqrt{2}$.

д) Для числа 48 найдем наибольший делитель, который является точным квадратом. Это 16. Таким образом, $48 = 16 \cdot 3$.

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$.

е) Разложим число 20 на множители: $20 = 4 \cdot 5$. Множитель 4 является точным квадратом ($4 = 2^2$).

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

ж) Представим число 300 как произведение $100 \cdot 3$. Множитель 100 является точным квадратом ($100 = 10^2$).

$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.

Ответ: $10\sqrt{3}$.

з) Для числа 450 найдем наибольший делитель, являющийся точным квадратом. Разложим 450 на множители: $450 = 225 \cdot 2$. Число 225 является точным квадратом ($225 = 15^2$).

$\sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.

Ответ: $15\sqrt{2}$.

337 a) $2\sqrt{8};$

б) $4\sqrt{18};$

В) $\frac{1}{2}\sqrt{72};$

Г) $\frac{1}{3}\sqrt{54};$

Д) $0,4\sqrt{75};$

е) $1,5\sqrt{32};$

Ж) $\frac{\sqrt{125}}{10};$

З) $\frac{\sqrt{96}}{8}.$

а) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{8}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным полным квадратом.
Число 8 можно представить как $4 \cdot 2$.
$2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$.

б) Упростим выражение $4\sqrt{18}$. Разложим 18 на множители: $18 = 9 \cdot 2$.
$4\sqrt{18} = 4\sqrt{9 \cdot 2} = 4 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$.
Ответ: $12\sqrt{2}$.

в) Упростим выражение $\frac{1}{2}\sqrt{72}$. Разложим 72 на множители, выделив наибольший полный квадрат: $72 = 36 \cdot 2$.
$\frac{1}{2}\sqrt{72} = \frac{1}{2}\sqrt{36 \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$.

г) Упростим выражение $\frac{1}{3}\sqrt{54}$. Разложим 54 на множители: $54 = 9 \cdot 6$.
$\frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot 6} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{6}$.

д) Упростим выражение $0,4\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.
$0,4\sqrt{75} = 0,4\sqrt{25 \cdot 3} = 0,4 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 0,4 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

е) Упростим выражение $1,5\sqrt{32}$. Разложим 32 на множители, выделив наибольший полный квадрат: $32 = 16 \cdot 2$.
$1,5\sqrt{32} = 1,5\sqrt{16 \cdot 2} = 1,5 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 1,5 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Ответ: $6\sqrt{2}$.

ж) Упростим выражение $\frac{\sqrt{125}}{10}$. Сначала вынесем множитель из-под знака корня в числителе. Разложим 125 на множители: $125 = 25 \cdot 5$.
$\frac{\sqrt{125}}{10} = \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{10} = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{5}}{10} = \frac{5\sqrt{5}}{10}$.
Теперь сократим полученную дробь на 5.
$\frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

з) Упростим выражение $\frac{\sqrt{96}}{8}$. Вынесем множитель из-под знака корня в числителе. Разложим 96 на множители: $96 = 16 \cdot 6$.
$\frac{\sqrt{96}}{8} = \frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{8} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{6}}{8} = \frac{4\sqrt{6}}{8}$.
Сократим дробь на 4.
$\frac{4\sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

338 Какое из следующих выражений равно $\frac{\sqrt{48}}{2}$?

1) $\sqrt{24}$

2) $2\sqrt{6}$

3) $2\sqrt{3}$

4) $8\sqrt{3}$

Для того чтобы определить, какое из следующих выражений равно $\frac{\sqrt{48}}{2}$, необходимо упростить данное выражение.

Сначала упростим числитель дроби, то есть $\sqrt{48}$. Для этого разложим подкоренное число 48 на множители так, чтобы один из множителей был наибольшим возможным полным квадратом.

Число 48 можно представить в виде произведения $16 \cdot 3$. Так как 16 является квадратом числа 4 ($16 = 4^2$), мы можем вынести этот множитель из-под знака корня:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{48}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Итак, исходное выражение равно $2\sqrt{3}$. Теперь сравним этот результат с предложенными вариантами ответа.

1) Выражение $\sqrt{24}$. Упростим его: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Сравним: $2\sqrt{6} \neq 2\sqrt{3}$. Вариант неверный.

2) Выражение $2\sqrt{6}$. Сравним: $2\sqrt{6} \neq 2\sqrt{3}$. Вариант неверный.

3) Выражение $2\sqrt{3}$. Этот вариант полностью совпадает с нашим результатом. Вариант верный.

4) Выражение $8\sqrt{3}$. Сравним: $8\sqrt{3} \neq 2\sqrt{3}$. Вариант неверный.

Таким образом, правильный ответ находится под номером 3.

Ответ: 3

Внесите множитель под знак корня (339—340).

339 а) $3\sqrt{2}$;

в) $2\sqrt{3}$;

д) $\frac{1}{2}\sqrt{12}$;

ж) $4\sqrt{\frac{1}{32}};$

б) $2\sqrt{5}$;

г) $7\sqrt{2}$;

е) $\frac{1}{3}\sqrt{27}$;

з) $5\sqrt{0,4}$.

Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо представить этот множитель в виде квадратного корня, а затем перемножить подкоренные выражения. Для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $a = \sqrt{a^2}$. Таким образом, операция внесения множителя под знак корня для выражения $a\sqrt{b}$ (где $a \ge 0, b \ge 0$) выполняется по формуле: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$.

Вносим множитель 3 под знак корня. Для этого возводим 3 в квадрат и результат умножаем на подкоренное выражение 2.
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
Ответ: $\sqrt{18}$.

Вносим множитель 2 под знак корня. Возводим 2 в квадрат и умножаем на 5.
$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.
Ответ: $\sqrt{20}$.

Вносим множитель 2 под знак корня. Возводим 2 в квадрат и умножаем на 3.
$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.
Ответ: $\sqrt{12}$.

Вносим множитель 7 под знак корня. Возводим 7 в квадрат и умножаем на 2.
$7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$.
Ответ: $\sqrt{98}$.

Вносим дробный множитель $\frac{1}{2}$ под знак корня. Возводим $\frac{1}{2}$ в квадрат и умножаем на 12.
$\frac{1}{2}\sqrt{12} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 12} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

Вносим дробный множитель $\frac{1}{3}$ под знак корня. Возводим $\frac{1}{3}$ в квадрат и умножаем на 27.
$\frac{1}{3}\sqrt{27} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 27} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 27} = \sqrt{\frac{27}{9}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

Вносим множитель 4 под знак корня. Возводим 4 в квадрат и умножаем на дробное подкоренное выражение $\frac{1}{32}$.
$4\sqrt{\frac{1}{32}} = \sqrt{4^2 \cdot \frac{1}{32}} = \sqrt{16 \cdot \frac{1}{32}} = \sqrt{\frac{16}{32}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{2}}$.

Вносим множитель 5 под знак корня. Возводим 5 в квадрат и умножаем на десятичную дробь 0,4.
$5\sqrt{0,4} = \sqrt{5^2 \cdot 0,4} = \sqrt{25 \cdot 0,4} = \sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{10}$.

340 a) $-5\sqrt{6}$;

б) $-10\sqrt{7}$;

в) $-4\sqrt{5}$;

г) $-6\sqrt{2}$.

а) Чтобы внести множитель под знак корня в выражении $-5\sqrt{6}$, необходимо выполнить следующие действия. Поскольку множитель перед корнем отрицательный, знак "минус" остается перед знаком корня. Положительное число 5 вносится под корень путем возведения его в квадрат и умножения на подкоренное выражение.
$-5\sqrt{6} = -\left(5\sqrt{6}\right)$
Для внесения множителя 5 под знак корня, представим его в виде корня: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.
Теперь выполним умножение под знаком корня:
$-5\sqrt{6} = -\sqrt{5^2 \cdot 6} = -\sqrt{25 \cdot 6} = -\sqrt{150}$.
Ответ: $-\sqrt{150}$.

б) В выражении $-10\sqrt{7}$ нужно внести множитель под знак корня. Знак "минус" оставляем перед корнем, а число 10 вносим под корень, предварительно возведя его в квадрат.
$-10\sqrt{7} = -\left(10\sqrt{7}\right)$
Возведем 10 в квадрат: $10^2 = 100$.
Теперь внесем множитель под корень, умножив его на подкоренное выражение:
$-10\sqrt{7} = -\sqrt{10^2 \cdot 7} = -\sqrt{100 \cdot 7} = -\sqrt{700}$.
Ответ: $-\sqrt{700}$.

в) Рассмотрим выражение $-4\sqrt{5}$. Чтобы внести множитель под знак корня, оставляем знак "минус" перед корнем, а положительный множитель 4 возводим в квадрат и помещаем под знак корня, умножая на 5.
$-4\sqrt{5} = -\left(4\sqrt{5}\right)$
Возводим 4 в квадрат: $4^2 = 16$.
Перемножаем подкоренные выражения:
$-4\sqrt{5} = -\sqrt{4^2 \cdot 5} = -\sqrt{16 \cdot 5} = -\sqrt{80}$.
Ответ: $-\sqrt{80}$.

г) В выражении $-6\sqrt{2}$ необходимо внести множитель под знак корня. Знак "минус" остается перед корнем. Множитель 6 возводим в квадрат и умножаем на подкоренное выражение 2.
$-6\sqrt{2} = -\left(6\sqrt{2}\right)$
Возводим 6 в квадрат: $6^2 = 36$.
Выполняем умножение под знаком корня:
$-6\sqrt{2} = -\sqrt{6^2 \cdot 2} = -\sqrt{36 \cdot 2} = -\sqrt{72}$.
Ответ: $-\sqrt{72}$.

341 Какое из следующих выражений равно $-2\sqrt{3}$?

1) $\sqrt{6}$

2) $-\sqrt{6}$

3) $\sqrt{12}$

4) $-\sqrt{12}$

Чтобы определить, какое из предложенных выражений равно $-2\sqrt{3}$, можно пойти двумя путями: преобразовать исходное выражение, внеся множитель под знак корня, или упростить выражения, предложенные в вариантах ответа.

Способ 1: Внесение множителя под знак корня

В выражении $-2\sqrt{3}$ необходимо внести множитель 2 под знак квадратного корня. Для этого нужно возвести 2 в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Знак "минус" при этом сохраняется перед корнем.

$-2\sqrt{3} = -\sqrt{2^2 \cdot 3} = -\sqrt{4 \cdot 3} = -\sqrt{12}$

Сравнив полученное выражение $-\sqrt{12}$ с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом под номером 4.

Способ 2: Упрощение выражений в вариантах ответа

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) Выражение $\sqrt{6}$. Это число положительное, в то время как $-2\sqrt{3}$ — отрицательное, поэтому они не могут быть равны.

2) Выражение $-\sqrt{6}$. Оно не равно $-\sqrt{12}$, так как $6 \neq 12$.

3) Упростим выражение $\sqrt{12}$. Для этого разложим подкоренное число на множители так, чтобы один из них был полным квадратом:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Полученное выражение $2\sqrt{3}$ не равно $-2\sqrt{3}$.

4) Упростим выражение $-\sqrt{12}$. Аналогично предыдущему пункту:
$-\sqrt{12} = -\sqrt{4 \cdot 3} = -(\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}$.
Это выражение полностью совпадает с исходным.

Оба способа показывают, что выражение $-2\sqrt{3}$ равно выражению $-\sqrt{12}$.

Ответ: 4

РАССУЖДАЕМ (342–343)

342 Сравните значения выражений:

а) $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{8}$;

б) $\sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$;

в) $2\sqrt{6}$ и $3\sqrt{3}$;

г) $2\sqrt{\frac{1}{8}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{2}$;

д) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ и $3\sqrt{\frac{5}{3}}$;

е) $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{8}$.

а) Чтобы сравнить значения выражений $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{8}$, приведем оба выражения к виду, где все числа находятся под знаком корня. Для этого в первом выражении внесем множитель 2 под знак корня. Так как $2$ — положительное число, мы можем записать его как $\sqrt{2^2} = \sqrt{4}$. Тогда $2\sqrt{3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$. Теперь сравним полученное выражение $\sqrt{12}$ с выражением $\sqrt{8}$. Поскольку функция квадратного корня является возрастающей, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Так как $12 > 8$, то и $\sqrt{12} > \sqrt{8}$. Следовательно, $2\sqrt{3}$ больше, чем $\sqrt{8}$.Ответ: $2\sqrt{3} > \sqrt{8}$.

б) Сравним $\sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$. Для этого внесем множитель 3 во втором выражении под знак корня: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$. Теперь сравним $\sqrt{45}$ и $\sqrt{45}$. Так как подкоренные выражения равны, то и сами выражения равны. Альтернативный способ — вынести множитель из-под знака корня в первом выражении: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$. Сравнивая $3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{5}$, мы также приходим к выводу, что они равны.Ответ: $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

в) Сравним $2\sqrt{6}$ и $3\sqrt{3}$. Для этого внесем множители под знак корня в обоих выражениях.Для первого выражения: $2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$.Для второго выражения: $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.Теперь сравним полученные выражения $\sqrt{24}$ и $\sqrt{27}$. Так как подкоренное выражение $24$ меньше, чем $27$, то $\sqrt{24} < \sqrt{27}$. Следовательно, $2\sqrt{6}$ меньше, чем $3\sqrt{3}$.Ответ: $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}$.

г) Сравним $2\sqrt{\frac{1}{8}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{2}$. Внесем множители под знаки корней.Для первого выражения: $2\sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{2^2 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$.Для второго выражения: $\frac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 2} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 2} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$.Поскольку подкоренные выражения равны, то и сами выражения равны.Ответ: $2\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$.

д) Сравним $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ и $3\sqrt{\frac{5}{3}}$. Внесем множители под знаки корней.Для первого выражения: $5\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15}$.Для второго выражения: $3\sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{9 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{15}$.Так как в результате преобразований мы получили одинаковые выражения $\sqrt{15}$, исходные выражения равны.Ответ: $5\sqrt{\frac{3}{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{3}}$.

е) Сравним $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{8}$. Внесем множители под знак корня.Для первого выражения: $\frac{1}{3}\sqrt{20} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 20} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{9}}$.Для второго выражения: $\frac{1}{2}\sqrt{8} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 8} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 8} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$.Теперь сравним подкоренные выражения $\frac{20}{9}$ и $2$. Так как $\frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}$, очевидно, что $\frac{20}{9} > 2$. Поскольку функция корня возрастающая, из $\frac{20}{9} > 2$ следует, что $\sqrt{\frac{20}{9}} > \sqrt{2}$. Следовательно, $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ больше, чем $\frac{1}{2}\sqrt{8}$.Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}$.

343 Расположите в порядке возрастания:

а) $3\sqrt{2}; 2\sqrt{3}$ и $4;$

б) $5; 2\sqrt{7}$ и $3\sqrt{3};$

в) $4\sqrt{3}; 2\sqrt{10}$ и $5\sqrt{2};$

г) $3\sqrt{6}; 6\sqrt{2}$ и $2\sqrt{13}.$

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, мы представим каждое число в виде квадратного корня ($\sqrt{A}$), внеся множитель под знак корня. Затем мы сравним значения подкоренных выражений ($A$). Чем больше подкоренное выражение, тем больше и сам корень.

а) Даны числа $3\sqrt{2}$, $2\sqrt{3}$ и $4$.
Представим каждое число в виде корня:
$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$
$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$
$4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$
Сравниваем подкоренные выражения: $12 < 16 < 18$.
Следовательно, $\sqrt{12} < \sqrt{16} < \sqrt{18}$, что соответствует $2\sqrt{3} < 4 < 3\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{3}; 4; 3\sqrt{2}$.

б) Даны числа $5$, $2\sqrt{7}$ и $3\sqrt{3}$.
Представим каждое число в виде корня:
$5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$
$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$
$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$
Сравниваем подкоренные выражения: $25 < 27 < 28$.
Следовательно, $\sqrt{25} < \sqrt{27} < \sqrt{28}$, что соответствует $5 < 3\sqrt{3} < 2\sqrt{7}$.
Ответ: $5; 3\sqrt{3}; 2\sqrt{7}$.

в) Даны числа $4\sqrt{3}$, $2\sqrt{10}$ и $5\sqrt{2}$.
Представим каждое число в виде корня:
$4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$
$2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$
$5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$
Сравниваем подкоренные выражения: $40 < 48 < 50$.
Следовательно, $\sqrt{40} < \sqrt{48} < \sqrt{50}$, что соответствует $2\sqrt{10} < 4\sqrt{3} < 5\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{10}; 4\sqrt{3}; 5\sqrt{2}$.

г) Даны числа $3\sqrt{6}$, $6\sqrt{2}$ и $2\sqrt{13}$.
Представим каждое число в виде корня:
$3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$
$6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$
$2\sqrt{13} = \sqrt{2^2 \cdot 13} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52}$
Сравниваем подкоренные выражения: $52 < 54 < 72$.
Следовательно, $\sqrt{52} < \sqrt{54} < \sqrt{72}$, что соответствует $2\sqrt{13} < 3\sqrt{6} < 6\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{13}; 3\sqrt{6}; 6\sqrt{2}$.