Страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

354 Упростите выражение:

a) $3\sqrt{3} + \sqrt{12}$;

б) $\sqrt{45} - 2\sqrt{5}$;

в) $\sqrt{48} - 10\sqrt{3}$;

г) $4\sqrt{2} - \sqrt{50}$;

д) $\sqrt{2} - \sqrt{32} + \sqrt{50}$;

е) $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 2\sqrt{48}$;

ж) $\sqrt{8} + 2\sqrt{18} - \sqrt{72}$;

з) $2\sqrt{20} - \sqrt{45} - 2\sqrt{12}$;

и) $2\sqrt{28} - 0,5\sqrt{24} + 2\sqrt{7}$.

а) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{3} + \sqrt{12}$, вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\sqrt{12}$.

Представим число 12 в виде произведения $4 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь исходное выражение можно записать так: $3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$.

Сложим коэффициенты при одинаковых корнях: $(3+2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Ответ: $5\sqrt{3}$.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{45} - 2\sqrt{5}$, вынесем множитель из-под знака корня в члене $\sqrt{45}$.

Представим число 45 в виде произведения $9 \cdot 5$. Тогда $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Подставим полученное значение в выражение: $3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$.

Выполним вычитание: $(3-2)\sqrt{5} = 1 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

в) Чтобы упростить выражение $\sqrt{48} - 10\sqrt{3}$, вынесем множитель из-под знака корня в члене $\sqrt{48}$.

Представим число 48 в виде произведения $16 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим полученное значение в выражение: $4\sqrt{3} - 10\sqrt{3}$.

Выполним вычитание: $(4-10)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$.

Ответ: $-6\sqrt{3}$.

г) Чтобы упростить выражение $4\sqrt{2} - \sqrt{50}$, вынесем множитель из-под знака корня в члене $\sqrt{50}$.

Представим число 50 в виде произведения $25 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Подставим полученное значение в выражение: $4\sqrt{2} - 5\sqrt{2}$.

Выполним вычитание: $(4-5)\sqrt{2} = -1 \cdot \sqrt{2} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$.

д) Чтобы упростить выражение $\sqrt{2} - \sqrt{32} + \sqrt{50}$, вынесем множители из-под знака корня в членах $\sqrt{32}$ и $\sqrt{50}$.

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в выражение: $\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$.

Приведем подобные слагаемые: $(1-4+5)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

е) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 2\sqrt{48}$, вынесем множители из-под знака корня в членах $\sqrt{27}$ и $\sqrt{48}$.

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

$2\sqrt{48} = 2\sqrt{16 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в выражение: $2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 8\sqrt{3}$.

Приведем подобные слагаемые: $(2-3+8)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.

Ответ: $7\sqrt{3}$.

ж) Чтобы упростить выражение $\sqrt{8} + 2\sqrt{18} - \sqrt{72}$, вынесем множители из-под знака корня во всех членах.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в выражение: $2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$.

Приведем подобные слагаемые: $(2+6-6)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$.

з) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{20} - \sqrt{45} - 2\sqrt{12}$, вынесем множители из-под знака корня во всех членах.

$2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в выражение: $4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 4\sqrt{3}$.

Приведем подобные слагаемые (только те, что содержат $\sqrt{5}$): $(4-3)\sqrt{5} - 4\sqrt{3} = \sqrt{5} - 4\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{5} - 4\sqrt{3}$.

и) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{28} - 0,5\sqrt{24} + 2\sqrt{7}$, вынесем множители из-под знака корня в членах $\sqrt{28}$ и $\sqrt{24}$.

$2\sqrt{28} = 2\sqrt{4 \cdot 7} = 2 \cdot 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}$.

$0,5\sqrt{24} = 0,5\sqrt{4 \cdot 6} = 0,5 \cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$.

Подставим полученные значения в выражение: $4\sqrt{7} - \sqrt{6} + 2\sqrt{7}$.

Приведем подобные слагаемые (только те, что содержат $\sqrt{7}$): $(4+2)\sqrt{7} - \sqrt{6} = 6\sqrt{7} - \sqrt{6}$.

Ответ: $6\sqrt{7} - \sqrt{6}$.

355 РАССУЖДАЕМ Рациональным или иррациональным является значение выражения:

а) $10\sqrt{3} + 4 - \sqrt{300};$

б) $\sqrt{162} - 10\sqrt{2} + \sqrt{27};$

в) $3\sqrt{28} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5};$

г) $\sqrt{48} - 5 - 4\sqrt{3}?$

а) Чтобы определить, является ли значение выражения $10\sqrt{3} + 4 - \sqrt{300}$ рациональным или иррациональным, необходимо его упростить. Упростим слагаемое $\sqrt{300}$, вынеся множитель из-под знака корня.
Представим подкоренное выражение 300 в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом: $300 = 100 \cdot 3 = 10^2 \cdot 3$.
Тогда $\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$10\sqrt{3} + 4 - 10\sqrt{3} = (10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}) + 4 = 0 + 4 = 4$.
В результате мы получили число 4. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби (например, $4 = \frac{4}{1}$).
Ответ: рациональным.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{162} - 10\sqrt{2} + \sqrt{27}$. Для определения его рациональности упростим корни $\sqrt{162}$ и $\sqrt{27}$.
Вынесем множитель из-под знака корня для $\sqrt{162}$:
$162 = 81 \cdot 2 = 9^2 \cdot 2$, следовательно, $\sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{2}$.
Вынесем множитель из-под знака корня для $\sqrt{27}$:
$27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3$, следовательно, $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные значения в выражение:
$9\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = (9\sqrt{2} - 10\sqrt{2}) + 3\sqrt{3} = -\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$.
Результатом является число $-\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ являются иррациональными числами, их линейная комбинация с ненулевыми рациональными коэффициентами также является иррациональным числом.
Ответ: иррациональным.

в) Рассмотрим выражение $3\sqrt{28} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$. Упростим его, начав с $\sqrt{28}$.
Представим 28 как произведение $4 \cdot 7$:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$3 \cdot (2\sqrt{7}) + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = 6\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(6\sqrt{7} + 2\sqrt{7}) - 2\sqrt{5} = 8\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$.
В результате получилось выражение $8\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$. Числа $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$ являются иррациональными. Их линейная комбинация с ненулевыми рациональными коэффициентами является иррациональным числом.
Ответ: иррациональным.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{48} - 5 - 4\sqrt{3}$. Упростим корень $\sqrt{48}$.
Вынесем множитель из-под знака корня. Представим 48 как $16 \cdot 3$:
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Подставим упрощенное значение обратно в выражение:
$4\sqrt{3} - 5 - 4\sqrt{3} = (4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) - 5 = 0 - 5 = -5$.
Результатом является целое число -5. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби (например, $-5 = \frac{-5}{1}$).
Ответ: рациональным.

Преобразуйте выражение, используя формулы сокращённого умножения (356—357).

356 a) $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3});$

б) $(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1);$

в) $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5});$

г) $(4-\sqrt{3})(4+\sqrt{3});$

д) $(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3});$

е) $(\sqrt{10}+\sqrt{11})(\sqrt{11}-\sqrt{10}).$

а) Выражение $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$ представляет собой произведение суммы и разности двух чисел. Применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = 2$ и $b = \sqrt{3}$.
$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Ответ: 1

б) Выражение $(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1)$ также преобразуется по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \sqrt{6}$ и $b = 1$.
$(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) = (\sqrt{6})^2 - 1^2 = 6 - 1 = 5$.
Ответ: 5

в) Выражение $(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})$ соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{5}$.
$(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.
Ответ: 2

г) В выражении $(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})$ используем ту же формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = 4$ и $b = \sqrt{3}$.
$(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13$.
Ответ: 13

д) Выражение $(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ преобразуется по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$.
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.
Ответ: -1

е) В выражении $(\sqrt{10} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{10})$ множители не записаны в стандартном виде для формулы разности квадратов. Воспользуемся переместительным свойством сложения в первой скобке: $(\sqrt{10} + \sqrt{11}) = (\sqrt{11} + \sqrt{10})$.
Теперь выражение имеет вид $(\sqrt{11} + \sqrt{10})(\sqrt{11} - \sqrt{10})$, что соответствует формуле $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{10}$.
$(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{10})^2 = 11 - 10 = 1$.
Ответ: 1

357 a) $(1 - \sqrt{5})^2;$

В) $(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2;$

Д) $(5 - \sqrt{5})^2 + 5\sqrt{5};$

б) $(\sqrt{10} - 2)^2;$

Г) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2;$

е) $(\sqrt{11} + \sqrt{6})^2 - 17.$

а) Чтобы упростить выражение $(1 - \sqrt{5})^2$, воспользуемся формулой квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 1$ и $b = \sqrt{5}$.
$(1 - \sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5$.
Складываем целые числа: $1 + 5 = 6$.
Результат: $6 - 2\sqrt{5}$.
Ответ: $6 - 2\sqrt{5}$.

б) Используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для выражения $(\sqrt{10} - 2)^2$, где $a = \sqrt{10}$ и $b = 2$.
$(\sqrt{10} - 2)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 2 + 2^2 = 10 - 4\sqrt{10} + 4$.
Складываем целые числа: $10 + 4 = 14$.
Результат: $14 - 4\sqrt{10}$.
Ответ: $14 - 4\sqrt{10}$.

в) Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ к выражению $(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{5}$.
$(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 - 2\sqrt{15} + 5$.
Складываем целые числа: $3 + 5 = 8$.
Результат: $8 - 2\sqrt{15}$.
Ответ: $8 - 2\sqrt{15}$.

г) Для раскрытия скобок в $(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{2}$.
$(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2$.
Складываем целые числа: $7 + 2 = 9$.
Результат: $9 + 2\sqrt{14}$.
Ответ: $9 + 2\sqrt{14}$.

д) Сначала раскроем скобки в $(5 - \sqrt{5})^2$ по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(5 - \sqrt{5})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 25 - 10\sqrt{5} + 5 = 30 - 10\sqrt{5}$.
Теперь добавим оставшуюся часть выражения: $(30 - 10\sqrt{5}) + 5\sqrt{5}$.
Приводим подобные слагаемые: $-10\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = -5\sqrt{5}$.
Результат: $30 - 5\sqrt{5}$.
Ответ: $30 - 5\sqrt{5}$.

е) Раскроем скобки в $(\sqrt{11} + \sqrt{6})^2$ по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{11} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 11 + 2\sqrt{66} + 6 = 17 + 2\sqrt{66}$.
Теперь вычтем 17 из полученного результата: $(17 + 2\sqrt{66}) - 17$.
$17 - 17 = 0$.
Результат: $2\sqrt{66}$.
Ответ: $2\sqrt{66}$.

358 Найдите значение выражения $x^2 - 4$ при:

а) $x = \sqrt{3}$;

б) $x = \sqrt{3} - 1$;

в) $x = \sqrt{3} + 1$;

г) $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

а)

Чтобы найти значение выражения $x^2 - 4$ при $x = \sqrt{3}$, подставим это значение в выражение:

$x^2 - 4 = (\sqrt{3})^2 - 4$

Так как $(\sqrt{3})^2 = 3$, получаем:

$3 - 4 = -1$

Ответ: $-1$.

б)

Чтобы найти значение выражения $x^2 - 4$ при $x = \sqrt{3} - 1$, подставим это значение в выражение:

$x^2 - 4 = (\sqrt{3} - 1)^2 - 4$

Для раскрытия скобок используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 - 4 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 - 4$

Сгруппируем и сложим числовые слагаемые:

$(3 + 1 - 4) - 2\sqrt{3} = 0 - 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$

Ответ: $-2\sqrt{3}$.

в)

Чтобы найти значение выражения $x^2 - 4$ при $x = \sqrt{3} + 1$, подставим это значение в выражение:

$x^2 - 4 = (\sqrt{3} + 1)^2 - 4$

Для раскрытия скобок используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 - 4 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 - 4$

Сгруппируем и сложим числовые слагаемые:

$(3 + 1 - 4) + 2\sqrt{3} = 0 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$.

г)

Чтобы найти значение выражения $x^2 - 4$ при $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$, подставим это значение в выражение:

$x^2 - 4 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 - 4$

Для раскрытия скобок используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - 4 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 - 4$

Сгруппируем и сложим числовые слагаемые:

$(3 + 2 - 4) - 2\sqrt{6} = 1 - 2\sqrt{6}$

Ответ: $1 - 2\sqrt{6}$.

359 Найдите значение выражения $1 - a^2$ при:

а) $a = \sqrt{5}$;

б) $a = \sqrt{5} - 1$;

в) $a = 1 - \sqrt{5}$;

г) $a = 1 + \sqrt{5}$.

а) При $a = \sqrt{5}$:

Подставим данное значение $a$ в выражение $1 - a^2$:

$1 - a^2 = 1 - (\sqrt{5})^2 = 1 - 5 = -4$.

Ответ: $-4$

б) При $a = \sqrt{5} - 1$:

Подставим данное значение $a$ в выражение $1 - a^2$:

$1 - a^2 = 1 - (\sqrt{5} - 1)^2$.

Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$1 - (6 - 2\sqrt{5}) = 1 - 6 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 5$.

Ответ: $2\sqrt{5} - 5$

в) При $a = 1 - \sqrt{5}$:

Подставим данное значение $a$ в выражение $1 - a^2$:

$1 - a^2 = 1 - (1 - \sqrt{5})^2$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(1 - \sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\sqrt{5}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$1 - (6 - 2\sqrt{5}) = 1 - 6 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 5$.

Ответ: $2\sqrt{5} - 5$

г) При $a = 1 + \sqrt{5}$:

Подставим данное значение $a$ в выражение $1 - a^2$:

$1 - a^2 = 1 - (1 + \sqrt{5})^2$.

Раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(1 + \sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$1 - (6 + 2\sqrt{5}) = 1 - 6 - 2\sqrt{5} = -5 - 2\sqrt{5}$.

Ответ: $-5 - 2\sqrt{5}$

360 Найдите значения выражений $ \frac{xy}{x+y} $ и $ \frac{x-y}{xy} $ при:

а) $x = \sqrt{2}, y = \sqrt{8};$

б) $x = 2 - \sqrt{3}, y = 2 + \sqrt{3};$

в) $x = \sqrt{6} - \sqrt{3}, y = \sqrt{6} + \sqrt{3};$

г) $x = \sqrt{5} + \sqrt{2}, y = \sqrt{5} - \sqrt{2}.$

Для решения задачи необходимо подставить данные значения x и y в выражения $\frac{xy}{x+y}$ и $\frac{x-y}{xy}$ и выполнить вычисления.

Дано: $x = \sqrt{2}$, $y = \sqrt{8}$. Упростим значение $y$: $y = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

1. Найдем значение выражения $\frac{xy}{x+y}$.
Сначала вычислим сумму $x+y$ и произведение $xy$:
$x+y = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
$xy = \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$
Теперь подставим найденные значения в выражение:
$\frac{xy}{x+y} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

2. Найдем значение выражения $\frac{x-y}{xy}$.
Вычислим разность $x-y$:
$x-y = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$
Произведение $xy$ уже найдено и равно 4.
Подставим значения в выражение:
$\frac{x-y}{xy} = \frac{-\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{xy}{x+y} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$; $\frac{x-y}{xy} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Дано: $x = 2 - \sqrt{3}$, $y = 2 + \sqrt{3}$.

1. Найдем значение выражения $\frac{xy}{x+y}$.
Вычислим сумму $x+y$ и произведение $xy$, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$x+y = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$
$xy = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$
Подставим найденные значения в выражение:
$\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{4}$

2. Найдем значение выражения $\frac{x-y}{xy}$.
Вычислим разность $x-y$:
$x-y = (2 - \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$
Произведение $xy$ равно 1.
Подставим значения в выражение:
$\frac{x-y}{xy} = \frac{-2\sqrt{3}}{1} = -2\sqrt{3}$

Ответ: $\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{4}$; $\frac{x-y}{xy} = -2\sqrt{3}$.

Дано: $x = \sqrt{6} - \sqrt{3}$, $y = \sqrt{6} + \sqrt{3}$.

1. Найдем значение выражения $\frac{xy}{x+y}$.
Вычислим сумму $x+y$ и произведение $xy$, используя формулу разности квадратов:
$x+y = (\sqrt{6} - \sqrt{3}) + (\sqrt{6} + \sqrt{3}) = 2\sqrt{6}$
$xy = (\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2 = 6 - 3 = 3$
Подставим найденные значения в выражение и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{xy}{x+y} = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

2. Найдем значение выражения $\frac{x-y}{xy}$.
Вычислим разность $x-y$:
$x-y = (\sqrt{6} - \sqrt{3}) - (\sqrt{6} + \sqrt{3}) = \sqrt{6} - \sqrt{3} - \sqrt{6} - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$
Произведение $xy$ равно 3.
Подставим значения в выражение:
$\frac{x-y}{xy} = \frac{-2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{xy}{x+y} = \frac{\sqrt{6}}{4}$; $\frac{x-y}{xy} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Дано: $x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$, $y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$.

1. Найдем значение выражения $\frac{xy}{x+y}$.
Вычислим сумму $x+y$ и произведение $xy$, используя формулу разности квадратов:
$x+y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{5}$
$xy = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$
Подставим найденные значения в выражение и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\frac{xy}{x+y} = \frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$

2. Найдем значение выражения $\frac{x-y}{xy}$.
Вычислим разность $x-y$:
$x-y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
Произведение $xy$ равно 3.
Подставим значения в выражение:
$\frac{x-y}{xy} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{xy}{x+y} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$; $\frac{x-y}{xy} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Периметр квадрата (в см) равен $4\sqrt{2}+16$. Найдите площадь квадрата.

361.

Периметр квадрата $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ – длина стороны квадрата.
Согласно условию, периметр равен $P = 4\sqrt{2} + 16$ см.

Для того чтобы найти длину стороны квадрата $a$, необходимо разделить значение периметра на 4:
$a = \frac{4\sqrt{2} + 16}{4}$
Вынесем общий