Страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

352 Назовите подобные радикалы:

а) $2\sqrt{3}, 3\sqrt{2}, \sqrt{3};$

б) $\sqrt{5}, 6\sqrt{5}, \sqrt{6};$

в) $-2\sqrt{7}, 7\sqrt{2}, 2\sqrt{3}, 4\sqrt{7};$

г) $\sqrt{15}, -3\sqrt{5}, -2\sqrt{15}, 5\sqrt{3};$

д) $2\sqrt{x}, 3\sqrt{5}, \sqrt{x};$

е) $3\sqrt{a}, 8\sqrt{b}, 3\sqrt{c}, 8\sqrt{a}.$

Подобными радикалами (или подобными корнями) называются выражения, у которых одинаковая корневая часть, то есть одинаковые показатели корня и одинаковые подкоренные выражения. Рациональные множители (коэффициенты) перед корнем могут быть разными.

Проанализируем каждый пункт:

а) Даны выражения $2\sqrt{3}, 3\sqrt{2}, \sqrt{3}$.
Радикалы $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ имеют одинаковую корневую часть $\sqrt{3}$. Радикал $3\sqrt{2}$ имеет другую корневую часть $\sqrt{2}$.
Следовательно, подобные радикалы здесь $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.

б) Даны выражения $\sqrt{5}, 6\sqrt{5}, \sqrt{6}$.
Радикалы $\sqrt{5}$ и $6\sqrt{5}$ имеют одинаковую корневую часть $\sqrt{5}$. Радикал $\sqrt{6}$ имеет другую корневую часть.
Следовательно, подобные радикалы здесь $\sqrt{5}$ и $6\sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$ и $6\sqrt{5}$.

в) Даны выражения $-2\sqrt{7}, 7\sqrt{2}, 2\sqrt{3}, 4\sqrt{7}$.
Радикалы $-2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{7}$ имеют одинаковую корневую часть $\sqrt{7}$. Радикалы $7\sqrt{2}$ и $2\sqrt{3}$ имеют другие корневые части.
Следовательно, подобные радикалы здесь $-2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{7}$.

Ответ: $-2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{7}$.

г) Даны выражения $\sqrt{15}, -3\sqrt{5}, -2\sqrt{15}, 5\sqrt{3}$.
Радикалы $\sqrt{15}$ и $-2\sqrt{15}$ имеют одинаковую корневую часть $\sqrt{15}$. Радикалы $-3\sqrt{5}$ и $5\sqrt{3}$ имеют другие корневые части.
Следовательно, подобные радикалы здесь $\sqrt{15}$ и $-2\sqrt{15}$.

Ответ: $\sqrt{15}$ и $-2\sqrt{15}$.

д) Даны выражения $2\sqrt{x}, 3\sqrt{5}, \sqrt{x}$.
Радикалы $2\sqrt{x}$ и $\sqrt{x}$ имеют одинаковую корневую часть $\sqrt{x}$. Радикал $3\sqrt{5}$ имеет другую корневую часть.
Следовательно, подобные радикалы здесь $2\sqrt{x}$ и $\sqrt{x}$.

Ответ: $2\sqrt{x}$ и $\sqrt{x}$.

е) Даны выражения $3\sqrt{a}, 8\sqrt{b}, 3\sqrt{c}, 8\sqrt{a}$.
Радикалы $3\sqrt{a}$ и $8\sqrt{a}$ имеют одинаковую корневую часть $\sqrt{a}$. Радикалы $8\sqrt{b}$ и $3\sqrt{c}$ имеют другие корневые части.
Следовательно, подобные радикалы здесь $3\sqrt{a}$ и $8\sqrt{a}$.

Ответ: $3\sqrt{a}$ и $8\sqrt{a}$.

353 Приведите подобные слагаемые:

а) $5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5};$

б) $\sqrt{7} - 4\sqrt{7} + \sqrt{7};$

в) $\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{3};$

г) $3\sqrt{a} - 2\sqrt{a};$

д) $\sqrt{c} + 8\sqrt{c} - 5\sqrt{c};$

е) $5\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3\sqrt{y} + \sqrt{y}.$

а) Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую переменную часть. В данном выражении $5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5}$ все слагаемые имеют общий множитель $\sqrt{5}$. Чтобы их сложить, нужно сложить их коэффициенты (числовые множители). Коэффициенты равны 5, 3 и -1 (так как $-\sqrt{5}$ это $-1 \cdot \sqrt{5}$).
Вынесем общий множитель $\sqrt{5}$ за скобки:
$5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = (5 + 3 - 1)\sqrt{5}$
Выполним действия в скобках:
$5 + 3 - 1 = 7$
Таким образом, результат равен $7\sqrt{5}$.
Ответ: $7\sqrt{5}$

б) В выражении $\sqrt{7} - 4\sqrt{7} + \sqrt{7}$ все слагаемые также являются подобными, так как содержат общий множитель $\sqrt{7}$. Коэффициенты слагаемых равны 1, -4 и 1.
Вынесем $\sqrt{7}$ за скобки:
$\sqrt{7} - 4\sqrt{7} + \sqrt{7} = (1 - 4 + 1)\sqrt{7}$
Вычислим сумму коэффициентов:
$1 - 4 + 1 = -2$
Получаем итоговый результат $-2\sqrt{7}$.
Ответ: $-2\sqrt{7}$

в) В выражении $\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$ есть две группы подобных слагаемых: те, что содержат $\sqrt{2}$, и те, что содержат $\sqrt{3}$. Сгруппируем их:
$(\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) + (-2\sqrt{3} + 4\sqrt{3})$
Теперь приведем подобные слагаемые в каждой группе.
Для первой группы: $\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (1+3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
Для второй группы: $-2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (-2+4)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
Сложим результаты: $4\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$. Дальнейшее упрощение невозможно, так как подкоренные выражения различны.
Ответ: $4\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

г) В выражении $3\sqrt{a} - 2\sqrt{a}$ оба слагаемых подобны, так как содержат общий множитель $\sqrt{a}$. Вынесем его за скобки и вычислим разность коэффициентов:
$3\sqrt{a} - 2\sqrt{a} = (3 - 2)\sqrt{a} = 1\sqrt{a} = \sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{a}$

д) В выражении $\sqrt{c} + 8\sqrt{c} - 5\sqrt{c}$ все слагаемые подобны с общим множителем $\sqrt{c}$. Вынесем его за скобки и выполним действия с коэффициентами 1, 8 и -5:
$\sqrt{c} + 8\sqrt{c} - 5\sqrt{c} = (1 + 8 - 5)\sqrt{c}$
Вычисляем:
$1 + 8 - 5 = 9 - 5 = 4$
Результат равен $4\sqrt{c}$.
Ответ: $4\sqrt{c}$

е) В выражении $5\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3\sqrt{y} + \sqrt{y}$ есть две группы подобных слагаемых: с $\sqrt{x}$ и с $\sqrt{y}$. Сгруппируем их:
$(5\sqrt{x} + \sqrt{x}) + (3\sqrt{y} + \sqrt{y})$
Приведем подобные в каждой группе:
Для группы с $\sqrt{x}$: $5\sqrt{x} + \sqrt{x} = (5+1)\sqrt{x} = 6\sqrt{x}$
Для группы с $\sqrt{y}$: $3\sqrt{y} + \sqrt{y} = (3+1)\sqrt{y} = 4\sqrt{y}$
Объединяем полученные слагаемые: $6\sqrt{x} + 4\sqrt{y}$.
Ответ: $6\sqrt{x} + 4\sqrt{y}$