Страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

318 Упростите:

а) $2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}$;

б) $3\sqrt{15} \cdot 6\sqrt{15}$;

в) $3\sqrt{7} \cdot 10\sqrt{7}$;

г) $(2\sqrt{11})^2$;

д) $(3\sqrt{8})^2$;

е) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$.

а) Для упрощения выражения $2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}$ воспользуемся свойством квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a$. Таким образом, произведение корней $\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}$ равно 10. Затем умножим полученный результат на коэффициент 2: $2 \cdot 10 = 20$.
Ответ: 20

б) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{15} \cdot 6\sqrt{15}$, сгруппируем и перемножим отдельно числовые коэффициенты и отдельно квадратные корни. Произведение коэффициентов: $3 \cdot 6 = 18$. Произведение корней: $\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = 15$. Итоговый результат равен произведению этих двух значений: $18 \cdot 15 = 270$.
Ответ: 270

в) Выражение $3\sqrt{7} \cdot 10\sqrt{7}$ упрощается аналогично предыдущему пункту. Перемножаем коэффициенты: $3 \cdot 10 = 30$. Перемножаем корни: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$. Находим конечное произведение: $30 \cdot 7 = 210$.
Ответ: 210

г) Для упрощения выражения $(2\sqrt{11})^2$ используем правило возведения произведения в степень: $(ab)^n = a^n b^n$. Возводим в квадрат каждый множитель в скобках: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$. Затем перемножаем полученные результаты: $4 \cdot 11 = 44$.
Ответ: 44

д) Выражение $(3\sqrt{8})^2$ упрощается так же, как и в предыдущем пункте. Возводим в квадрат каждый множитель: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{8})^2 = 8$. Находим их произведение: $9 \cdot 8 = 72$.
Ответ: 72

е) В выражении $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$ произведение первых двух сомножителей $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$ равно 3. Таким образом, выражение можно переписать как $3 \cdot \sqrt{3}$, что является его упрощенной формой $3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$

319 Докажите, что:

а) $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$;

в) $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$;

г) $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Образец. Докажем, что $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Воспользуемся определением арифметического корня. Так как $3\sqrt{2} \ge 0$ и $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$, то по определению $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

а)

Чтобы доказать равенство $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Согласно определению, число $b$ является арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$, если выполняются два условия: $b \ge 0$ и $b^2 = a$.

В данном случае $a = 8$ и $b = 2\sqrt{2}$. Проверим выполнение этих двух условий:

1. Проверим неотрицательность выражения $2\sqrt{2}$. Так как $2 > 0$ и $\sqrt{2} > 0$, их произведение $2\sqrt{2}$ также больше нуля. Следовательно, условие $b \ge 0$ выполняется.

2. Проверим, равен ли квадрат выражения $2\sqrt{2}$ числу 8. Возведем $2\sqrt{2}$ в квадрат: $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. Условие $b^2 = a$ выполняется.

Поскольку оба условия определения арифметического корня выполнены, равенство $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ является верным.

Ответ: что и требовалось доказать.

б)

Воспользуемся определением арифметического корня для доказательства равенства $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

Проверим два условия:

1. Выражение $3\sqrt{5}$ является неотрицательным, так как $3>0$ и $\sqrt{5}>0$.

2. Квадрат выражения равен: $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

Так как $3\sqrt{5} \ge 0$ и $(3\sqrt{5})^2 = 45$, то по определению $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

Ответ: что и требовалось доказать.

в)

Воспользуемся определением арифметического корня для доказательства равенства $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Проверим два условия:

1. Выражение $2\sqrt{3}$ является неотрицательным, так как $2>0$ и $\sqrt{3}>0$.

2. Квадрат выражения равен: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Так как $2\sqrt{3} \ge 0$ и $(2\sqrt{3})^2 = 12$, то по определению $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: что и требовалось доказать.

г)

Воспользуемся определением арифметического корня для доказательства равенства $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Проверим два условия:

1. Выражение $5\sqrt{2}$ является неотрицательным, так как $5>0$ и $\sqrt{2}>0$.

2. Квадрат выражения равен: $(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.

Так как $5\sqrt{2} \ge 0$ и $(5\sqrt{2})^2 = 50$, то по определению $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Ответ: что и требовалось доказать.