Номер 319, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 319, страница 93.

Условие.

319 Докажите, что:

а) $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$;

в) $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$;

г) $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Образец. Докажем, что $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Воспользуемся определением арифметического корня. Так как $3\sqrt{2} \ge 0$ и $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$, то по определению $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы доказать равенство $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Согласно определению, число $b$ является арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$, если выполняются два условия: $b \ge 0$ и $b^2 = a$.

В данном случае $a = 8$ и $b = 2\sqrt{2}$. Проверим выполнение этих двух условий:

1. Проверим неотрицательность выражения $2\sqrt{2}$. Так как $2 > 0$ и $\sqrt{2} > 0$, их произведение $2\sqrt{2}$ также больше нуля. Следовательно, условие $b \ge 0$ выполняется.

2. Проверим, равен ли квадрат выражения $2\sqrt{2}$ числу 8. Возведем $2\sqrt{2}$ в квадрат: $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. Условие $b^2 = a$ выполняется.

Поскольку оба условия определения арифметического корня выполнены, равенство $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ является верным.

Ответ: что и требовалось доказать.

б)

Воспользуемся определением арифметического корня для доказательства равенства $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

Проверим два условия:

1. Выражение $3\sqrt{5}$ является неотрицательным, так как $3>0$ и $\sqrt{5}>0$.

2. Квадрат выражения равен: $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

Так как $3\sqrt{5} \ge 0$ и $(3\sqrt{5})^2 = 45$, то по определению $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

Ответ: что и требовалось доказать.

в)

Воспользуемся определением арифметического корня для доказательства равенства $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Проверим два условия:

1. Выражение $2\sqrt{3}$ является неотрицательным, так как $2>0$ и $\sqrt{3}>0$.

2. Квадрат выражения равен: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Так как $2\sqrt{3} \ge 0$ и $(2\sqrt{3})^2 = 12$, то по определению $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Ответ: что и требовалось доказать.

г)

Воспользуемся определением арифметического корня для доказательства равенства $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Проверим два условия:

1. Выражение $5\sqrt{2}$ является неотрицательным, так как $5>0$ и $\sqrt{2}>0$.

2. Квадрат выражения равен: $(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.

Так как $5\sqrt{2} \ge 0$ и $(5\sqrt{2})^2 = 50$, то по определению $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Ответ: что и требовалось доказать.