Номер 314, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. График зависимости у = √x. Глава 2. Квадратные корни - номер 314, страница 90.

Условие.

314 Расположите в порядке возрастания числа:

a) $0,5$, $\sqrt{0,5}$ и $0,5^2$;

б) $12,5$, $\sqrt{12,5}$ и $12,5^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы расположить в порядке возрастания числа $0,5$, $\sqrt{0,5}$ и $0,5^2$, необходимо их сравнить. Поскольку все числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Порядок между квадратами будет таким же, как и между самими числами.

Найдем квадрат каждого числа:

• Первое число: $(0,5)^2 = 0,25$
• Второе число: $(\sqrt{0,5})^2 = 0,5$
• Третье число: $(0,5^2)^2 = (0,25)^2 = 0,0625$

Теперь сравним полученные значения: $0,0625 < 0,25 < 0,5$.

Так как квадраты чисел соотносятся именно так, то и исходные числа будут расположены в том же порядке: $0,5^2 < 0,5 < \sqrt{0,5}$.

Этот результат соответствует общему правилу: для любого положительного числа $x$, которое меньше единицы ($0 < x < 1$), справедливо неравенство $x^2 < x < \sqrt{x}$.

Ответ: $0,5^2; 0,5; \sqrt{0,5}$.

б)

Чтобы расположить в порядке возрастания числа $12,5$, $\sqrt{12,5}$ и $12,5^2$, можно воспользоваться общим правилом для чисел, которые больше единицы.

Для любого числа $x > 1$ справедливо неравенство: $\sqrt{x} < x < x^2$.

Поскольку в данном случае $x = 12,5$ и $12,5 > 1$, мы можем сразу записать числа в порядке возрастания: $\sqrt{12,5} < 12,5 < 12,5^2$.

Для проверки можно оценить приблизительные значения этих чисел:

• $\sqrt{12,5}$: так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то значение $\sqrt{12,5}$ находится в интервале от 3 до 4.
• $12,5$: остается без изменений.
• $12,5^2 = 12,5 \cdot 12,5 = 156,25$.

Сравнивая эти значения (число между 3 и 4; 12,5; 156,25), мы убеждаемся в правильности установленного порядка.

Ответ: $\sqrt{12,5}; 12,5; 12,5^2$.