Номер 309, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. График зависимости у = √x. Глава 2. Квадратные корни - номер 309, страница 89.

Условие.

309 Определите, пересекаются ли график зависимости $y = \sqrt{x}$ и заданная прямая. Если да, то вычислите координаты точки пересечения:

а) $x = 16, x = 10, x = -4, x = a (a > 0), x = a (a < 0);$

б) $y = 10, y = \sqrt{2}, y = -5, y = c (c > 0), y = c (c < 0).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить, пересекаются ли график функции $y = \sqrt{x}$ и заданная прямая, необходимо проанализировать область определения и область значений этой функции. Функция $y = \sqrt{x}$ определена для всех $x \ge 0$ (это ее область определения) и принимает только неотрицательные значения $y \ge 0$ (это ее область значений). Это означает, что график функции целиком расположен в первой координатной четверти, включая начало координат и положительные полуоси.

а)

В этом пункте мы рассматриваем пересечение графика функции $y = \sqrt{x}$ с вертикальными прямыми вида $x = k$. Пересечение существует только в том случае, если значение $k$ принадлежит области определения функции, то есть если $k \ge 0$.

$x = 16$. Так как $16 > 0$, это значение входит в область определения функции. Следовательно, прямая и график пересекаются. Чтобы найти координату $y$, подставим $x = 16$ в уравнение функции: $y = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(16, 4)$.

$x = 10$. Так как $10 > 0$, это значение входит в область определения функции. Прямая и график пересекаются. Подставляем $x = 10$ в уравнение: $y = \sqrt{10}$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(10, \sqrt{10})$.

$x = -4$. Так как $-4 < 0$, это значение не входит в область определения функции $y = \sqrt{x}$.
Ответ: Нет, не пересекаются.

$x = a \ (a > 0)$. По условию $a$ — положительное число, поэтому $a \ge 0$. Значение входит в область определения функции. Прямая и график пересекаются. Подставляем $x = a$ в уравнение: $y = \sqrt{a}$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(a, \sqrt{a})$.

$x = a \ (a < 0)$. По условию $a$ — отрицательное число, поэтому оно не входит в область определения функции $y = \sqrt{x}$.
Ответ: Нет, не пересекаются.

б)

В этом пункте мы рассматриваем пересечение графика функции $y = \sqrt{x}$ с горизонтальными прямыми вида $y = c$. Пересечение существует только в том случае, если значение $c$ принадлежит области значений функции, то есть если $c \ge 0$.

$y = 10$. Так как $10 > 0$, это значение входит в область значений функции. Прямая и график пересекаются. Чтобы найти координату $x$, подставим $y = 10$ в уравнение: $10 = \sqrt{x}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 10^2 = 100$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(100, 10)$.

$y = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, это значение входит в область значений функции. Прямая и график пересекаются. Подставляем $y = \sqrt{2}$ в уравнение: $\sqrt{2} = \sqrt{x}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(2, \sqrt{2})$.

$y = -5$. Так как $-5 < 0$, это значение не входит в область значений функции $y = \sqrt{x}$.
Ответ: Нет, не пересекаются.

$y = c \ (c > 0)$. По условию $c$ — положительное число, поэтому $c \ge 0$. Значение входит в область значений функции. Прямая и график пересекаются. Подставляем $y = c$ в уравнение: $c = \sqrt{x}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = c^2$.
Ответ: Да, пересекаются в точке $(c^2, c)$.

$y = c \ (c < 0)$. По условию $c$ — отрицательное число, поэтому оно не входит в область значений функции $y = \sqrt{x}$.
Ответ: Нет, не пересекаются.