Номер 304, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 304, страница 87.

Условие.

304 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Известно, что $a^2 + b^2 = 41$ и $ab = 20$. Найдём $a + b$. Чтобы решить задачу, умножим обе части второго равенства на 2, получим $2ab = 40$. Сложив это равенство с первым, получим

$a^2 + b^2 + 2ab = 40 + 41,$

$(a + b)^2 = 81,$

$a + b = 9$ или $a + b = -9.$

Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:

а) положительное значение суммы $a + b$, если $a^2 + b^2 = 82$ и $ab = 9$;

б) значения разности $a - b$, если $a^2 + b^2 = 106$ и $ab = 45$;

в) отрицательное значение разности $a - b$, если $a^2 + b^2 = 72$ и $ab = 18$;

г) значения суммы $a + b$, если $(a - b)^2 = 5$ и $ab = 1$;

д) положительное значение разности $a - b$, если $a + b = 8$ и $a^2 + b^2 = 40$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти положительное значение суммы $a + b$, используем формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. По условию $a^2 + b^2 = 82$ и $ab = 9$. Подставляем эти значения в формулу: $(a + b)^2 = 82 + 2 \cdot 9 = 82 + 18 = 100$. Из этого уравнения находим, что $a + b = 10$ или $a + b = -10$. Так как требуется найти положительное значение, получаем 10.
Ответ: 10.

б) Для нахождения значений разности $a - b$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$. По условию $a^2 + b^2 = 106$ и $ab = 45$. Подставляем значения в формулу: $(a - b)^2 = 106 - 2 \cdot 45 = 106 - 90 = 16$. Отсюда следует, что $a - b = 4$ или $a - b = -4$.
Ответ: 4 или -4.

в) Чтобы найти отрицательное значение разности $a - b$, используем ту же формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$. Дано, что $a^2 + b^2 = 72$ и $ab = 18$. Подставляем: $(a - b)^2 = 72 - 2 \cdot 18 = 72 - 36 = 36$. Из этого уравнения находим, что $a - b = 6$ или $a - b = -6$. Так как требуется найти отрицательное значение, выбираем -6.
Ответ: -6.

г) Нам даны $(a - b)^2 = 5$ и $ab = 1$. Требуется найти значения $a + b$. Сначала найдем $a^2 + b^2$. Раскроем скобки в первом равенстве: $a^2 - 2ab + b^2 = 5$. Выразим отсюда $a^2 + b^2$: $a^2 + b^2 = 5 + 2ab$. Подставим значение $ab = 1$, получим $a^2 + b^2 = 5 + 2(1) = 7$. Теперь используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ и подставляем известные значения: $(a + b)^2 = 7 + 2(1) = 9$. Следовательно, $a + b = 3$ или $a + b = -3$.
Ответ: 3 или -3.

д) Нам даны $a + b = 8$ и $a^2 + b^2 = 40$. Требуется найти положительное значение $a - b$. Сначала найдем $2ab$. Возведем в квадрат первое равенство: $(a + b)^2 = 8^2$, что равносильно $a^2 + 2ab + b^2 = 64$. Подставим известное значение $a^2 + b^2 = 40$: $40 + 2ab = 64$. Отсюда $2ab = 64 - 40 = 24$. Теперь используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ и подставляем значения: $(a - b)^2 = 40 - 24 = 16$. Следовательно, $a - b = 4$ или $a - b = -4$. Так как требуется найти положительное значение, получаем 4.
Ответ: 4.