Номер 298, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 298, страница 86.

Условие.

298 Решите уравнение:

а) $(x+1)^2 = 16;$

б) $(x-1)^2 = 0;$

в) $(x-5)^2 = 1;$

г) $(2x-1)^2 = 4;$

д) $(3x+6)^2 = 100;$

е) $(3-2x)^2 = 25.$

Образец. $(x+3)^2 = 9;$

$x+3=3$ или $x+3=-3;$

$x=0,$ $x=-6.$

Ответ. $0; -6.$

Рис. 2.27

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дано уравнение $(x + 1)^2 = 16$.
Это уравнение можно решить, извлекая квадратный корень из обеих частей. Уравнение вида $A^2 = B$ (где $B > 0$) равносильно двум уравнениям: $A = \sqrt{B}$ или $A = -\sqrt{B}$.
$x + 1 = \sqrt{16}$ или $x + 1 = -\sqrt{16}$
$x + 1 = 4$ или $x + 1 = -4$
Теперь решим каждое из этих линейных уравнений:
1) $x + 1 = 4 \implies x = 4 - 1 \implies x_1 = 3$
2) $x + 1 = -4 \implies x = -4 - 1 \implies x_2 = -5$
Ответ: $-5; 3$.

б) Дано уравнение $(x - 1)^2 = 0$.
Квадрат выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю.
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Ответ: $1$.

в) Дано уравнение $(x - 5)^2 = 1$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x - 5 = \sqrt{1}$ или $x - 5 = -\sqrt{1}$
$x - 5 = 1$ или $x - 5 = -1$
Решаем каждое уравнение:
1) $x - 5 = 1 \implies x = 1 + 5 \implies x_1 = 6$
2) $x - 5 = -1 \implies x = -1 + 5 \implies x_2 = 4$
Ответ: $4; 6$.

г) Дано уравнение $(2x - 1)^2 = 4$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$2x - 1 = \sqrt{4}$ или $2x - 1 = -\sqrt{4}$
$2x - 1 = 2$ или $2x - 1 = -2$
Решаем каждое уравнение:
1) $2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x_1 = \frac{3}{2}$
2) $2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}$.

д) Дано уравнение $(3x + 6)^2 = 100$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$3x + 6 = \sqrt{100}$ или $3x + 6 = -\sqrt{100}$
$3x + 6 = 10$ или $3x + 6 = -10$
Решаем каждое уравнение:
1) $3x + 6 = 10 \implies 3x = 10 - 6 \implies 3x = 4 \implies x_1 = \frac{4}{3}$
2) $3x + 6 = -10 \implies 3x = -10 - 6 \implies 3x = -16 \implies x_2 = -\frac{16}{3}$
Ответ: $-\frac{16}{3}; \frac{4}{3}$.

е) Дано уравнение $(3 - 2x)^2 = 25$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$3 - 2x = \sqrt{25}$ или $3 - 2x = -\sqrt{25}$
$3 - 2x = 5$ или $3 - 2x = -5$
Решаем каждое уравнение:
1) $3 - 2x = 5 \implies -2x = 5 - 3 \implies -2x = 2 \implies x_1 = -1$
2) $3 - 2x = -5 \implies -2x = -5 - 3 \implies -2x = -8 \implies x_2 = 4$
Ответ: $-1; 4$.