Страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

298 Решите уравнение:

а) $(x+1)^2 = 16;$

б) $(x-1)^2 = 0;$

в) $(x-5)^2 = 1;$

г) $(2x-1)^2 = 4;$

д) $(3x+6)^2 = 100;$

е) $(3-2x)^2 = 25.$

Образец. $(x+3)^2 = 9;$

$x+3=3$ или $x+3=-3;$

$x=0,$ $x=-6.$

Ответ. $0; -6.$

Рис. 2.27

а) Дано уравнение $(x + 1)^2 = 16$.
Это уравнение можно решить, извлекая квадратный корень из обеих частей. Уравнение вида $A^2 = B$ (где $B > 0$) равносильно двум уравнениям: $A = \sqrt{B}$ или $A = -\sqrt{B}$.
$x + 1 = \sqrt{16}$ или $x + 1 = -\sqrt{16}$
$x + 1 = 4$ или $x + 1 = -4$
Теперь решим каждое из этих линейных уравнений:
1) $x + 1 = 4 \implies x = 4 - 1 \implies x_1 = 3$
2) $x + 1 = -4 \implies x = -4 - 1 \implies x_2 = -5$
Ответ: $-5; 3$.

б) Дано уравнение $(x - 1)^2 = 0$.
Квадрат выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю.
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Ответ: $1$.

в) Дано уравнение $(x - 5)^2 = 1$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x - 5 = \sqrt{1}$ или $x - 5 = -\sqrt{1}$
$x - 5 = 1$ или $x - 5 = -1$
Решаем каждое уравнение:
1) $x - 5 = 1 \implies x = 1 + 5 \implies x_1 = 6$
2) $x - 5 = -1 \implies x = -1 + 5 \implies x_2 = 4$
Ответ: $4; 6$.

г) Дано уравнение $(2x - 1)^2 = 4$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$2x - 1 = \sqrt{4}$ или $2x - 1 = -\sqrt{4}$
$2x - 1 = 2$ или $2x - 1 = -2$
Решаем каждое уравнение:
1) $2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x_1 = \frac{3}{2}$
2) $2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}$.

д) Дано уравнение $(3x + 6)^2 = 100$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$3x + 6 = \sqrt{100}$ или $3x + 6 = -\sqrt{100}$
$3x + 6 = 10$ или $3x + 6 = -10$
Решаем каждое уравнение:
1) $3x + 6 = 10 \implies 3x = 10 - 6 \implies 3x = 4 \implies x_1 = \frac{4}{3}$
2) $3x + 6 = -10 \implies 3x = -10 - 6 \implies 3x = -16 \implies x_2 = -\frac{16}{3}$
Ответ: $-\frac{16}{3}; \frac{4}{3}$.

е) Дано уравнение $(3 - 2x)^2 = 25$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$3 - 2x = \sqrt{25}$ или $3 - 2x = -\sqrt{25}$
$3 - 2x = 5$ или $3 - 2x = -5$
Решаем каждое уравнение:
1) $3 - 2x = 5 \implies -2x = 5 - 3 \implies -2x = 2 \implies x_1 = -1$
2) $3 - 2x = -5 \implies -2x = -5 - 3 \implies -2x = -8 \implies x_2 = 4$
Ответ: $-1; 4$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (299–300)

299 a) Составьте формулу для вычисления площади $S$ закрашенной фигуры (рис. 2.27). Выразите из этой формулы радиус круга.

б) Составьте формулу для вычисления площади $S$ закрашенной фигуры (рис. 2.28). Выразите из этой формулы радиус большого круга $R$ и радиус маленького круга $r$.

Рис. 2.28

а) В данном пункте, судя по формулировке вопроса ("выразите... радиус круга" в единственном числе), предполагается, что закрашенной фигурой на рис. 2.27 является круг. Обозначим его радиус как $r$. Формула для вычисления площади $S$ такого круга имеет вид:

$S = \pi r^2$

где $S$ — это площадь круга, $r$ — его радиус, а $\pi$ — математическая константа.

Чтобы выразить радиус $r$ из этой формулы, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разделим обе части равенства $S = \pi r^2$ на $\pi$, чтобы выделить $r^2$:

$r^2 = \frac{S}{\pi}$

2. Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку радиус не может быть отрицательным, мы берем только арифметический (положительный) корень:

$r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$

Ответ: Формула для вычисления площади: $S = \pi r^2$. Формула для выражения радиуса: $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$.

б) Закрашенная фигура, показанная на рис. 2.28, является кольцом. Площадь $S$ этого кольца можно найти как разность площадей большого круга (с радиусом $R$) и малого круга (с радиусом $r$).

Площадь большого круга вычисляется как $S_R = \pi R^2$.
Площадь малого круга вычисляется как $S_r = \pi r^2$.

Площадь закрашенной части $S$ равна их разности:

$S = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2$

Для удобства вынесем общий множитель $\pi$ за скобки, получив окончательную формулу для площади кольца:

$S = \pi (R^2 - r^2)$

Теперь выразим из полученной формулы радиусы большого и маленького кругов.

Выражение радиуса большого круга R:

1. Возьмем формулу площади $S = \pi (R^2 - r^2)$ и разделим обе части на $\pi$:

$\frac{S}{\pi} = R^2 - r^2$

2. Чтобы выразить $R^2$, перенесем $r^2$ в левую часть уравнения (сменив знак):

$R^2 = \frac{S}{\pi} + r^2$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $R$ (радиус — положительная величина):

$R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$

Выражение радиуса маленького круга r:

1. Вернемся к уравнению $\frac{S}{\pi} = R^2 - r^2$.

2. На этот раз выразим $r^2$. Для этого перенесем $r^2$ влево, а $\frac{S}{\pi}$ вправо:

$r^2 = R^2 - \frac{S}{\pi}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $r$ (радиус — положительная величина):

$r = \sqrt{R^2 - \frac{S}{\pi}}$

Ответ: Формула для вычисления площади: $S = \pi (R^2 - r^2)$. Формула для радиуса большого круга: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$. Формула для радиуса маленького круга: $r = \sqrt{R^2 - \frac{S}{\pi}}$.

300 Из формулы:

а) $ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $ выразите $ l $;

б) $ \omega = \sqrt{\frac{t}{n}} $ выразите $ t $;

в) $ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $ выразите $ l $;

г) $ \omega = \sqrt{\frac{1}{LC}} $ выразите $ L $.

а) Дана формула циклической частоты математического маятника: $ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $.

Чтобы выразить длину маятника $l$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака квадратного корня:

$ \omega^2 = \left(\sqrt{\frac{g}{l}}\right)^2 $

$ \omega^2 = \frac{g}{l} $

2. Умножим обе части уравнения на $l$, чтобы переместить его в числитель:

$ \omega^2 \cdot l = g $

3. Разделим обе части на $ \omega^2 $, чтобы выразить $l$:

$ l = \frac{g}{\omega^2} $

Ответ: $ l = \frac{g}{\omega^2} $

б) Дана формула: $ \omega = \sqrt{\frac{t}{n}} $.

Чтобы выразить переменную $t$, выполним следующие действия:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \omega^2 = \left(\sqrt{\frac{t}{n}}\right)^2 $

$ \omega^2 = \frac{t}{n} $

2. Умножим обе части на $n$, чтобы выделить $t$:

$ \omega^2 \cdot n = t $

Запишем в более привычном виде:

$ t = \omega^2 n $

Ответ: $ t = \omega^2 n $

в) Дана формула периода колебаний математического маятника (формула Гюйгенса): $ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $.

Чтобы выразить длину маятника $l$, проделаем следующие шаги:

1. Разделим обе части уравнения на $ 2\pi $:

$ \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{l}{g}} $

2. Возведем обе части в квадрат:

$ \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \left(\sqrt{\frac{l}{g}}\right)^2 $

$ \frac{T^2}{4\pi^2} = \frac{l}{g} $

3. Умножим обе части на $g$ (ускорение свободного падения), чтобы выразить $l$:

$ l = \frac{gT^2}{4\pi^2} $

Ответ: $ l = \frac{gT^2}{4\pi^2} $

г) Дана формула циклической частоты колебаний в LC-контуре (формула Томсона): $ \omega = \sqrt{\frac{1}{LC}} $.

Чтобы выразить индуктивность $L$, выполним преобразования:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \omega^2 = \left(\sqrt{\frac{1}{LC}}\right)^2 $

$ \omega^2 = \frac{1}{LC} $

2. Умножим обе части на $LC$:

$ \omega^2 LC = 1 $

3. Разделим обе части на $ \omega^2 C $, чтобы выразить $L$:

$ L = \frac{1}{\omega^2 C} $

Ответ: $ L = \frac{1}{\omega^2 C} $

301 Найдите приближённо с одним знаком после запятой корни уравнения:

а) $x^2 = 82;$

б) $x^2 = 363;$

в) $x^2 - 5,7 = 0;$

г) $x^2 - 12,2 = 0;$

д) $300 = 2x^2;$

е) $4x^2 = 500.$

а) Дано уравнение $x^2 = 82$.
Корни этого уравнения: $x = \pm\sqrt{82}$.
Чтобы найти приближенное значение, оценим корень. Мы знаем, что $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$. Значит, $\sqrt{82}$ находится между 9 и 10, и очень близок к 9.
Более точное вычисление дает: $\sqrt{82} \approx 9,055...$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $9,1$ (так как вторая цифра после запятой - 5, округляем в большую сторону).
Следовательно, $x \approx \pm9,1$.
Ответ: $x \approx \pm9,1$.

б) Дано уравнение $x^2 = 363$.
Корни этого уравнения: $x = \pm\sqrt{363}$.
Чтобы найти приближенное значение, оценим корень. Мы знаем, что $19^2 = 361$ и $20^2 = 400$. Значит, $\sqrt{363}$ находится между 19 и 20.
Более точное вычисление дает: $\sqrt{363} \approx 19,052...$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $19,1$ (так как вторая цифра после запятой - 5, округляем в большую сторону).
Следовательно, $x \approx \pm19,1$.
Ответ: $x \approx \pm19,1$.

в) Дано уравнение $x^2 - 5,7 = 0$.
Перенесем 5,7 в правую часть: $x^2 = 5,7$.
Корни этого уравнения: $x = \pm\sqrt{5,7}$.
Оценим корень: $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Значит, $\sqrt{5,7}$ находится между 2 и 3.
Более точное вычисление дает: $\sqrt{5,7} \approx 2,387...$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $2,4$ (так как вторая цифра после запятой - 8, округляем в большую сторону).
Следовательно, $x \approx \pm2,4$.
Ответ: $x \approx \pm2,4$.

г) Дано уравнение $x^2 - 12,2 = 0$.
Перенесем 12,2 в правую часть: $x^2 = 12,2$.
Корни этого уравнения: $x = \pm\sqrt{12,2}$.
Оценим корень: $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Значит, $\sqrt{12,2}$ находится между 3 и 4.
Более точное вычисление дает: $\sqrt{12,2} \approx 3,492...$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $3,5$ (так как вторая цифра после запятой - 9, округляем в большую сторону).
Следовательно, $x \approx \pm3,5$.
Ответ: $x \approx \pm3,5$.

д) Дано уравнение $300 = 2x^2$.
Разделим обе части на 2, чтобы выразить $x^2$: $x^2 = \frac{300}{2} = 150$.
Корни этого уравнения: $x = \pm\sqrt{150}$.
Оценим корень: $12^2 = 144$ и $13^2 = 169$. Значит, $\sqrt{150}$ находится между 12 и 13.
Более точное вычисление дает: $\sqrt{150} \approx 12,247...$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $12,2$ (так как вторая цифра после запятой - 4, округляем в меньшую сторону).
Следовательно, $x \approx \pm12,2$.
Ответ: $x \approx \pm12,2$.

е) Дано уравнение $4x^2 = 500$.
Разделим обе части на 4, чтобы выразить $x^2$: $x^2 = \frac{500}{4} = 125$.
Корни этого уравнения: $x = \pm\sqrt{125}$.
Оценим корень: $11^2 = 121$ и $12^2 = 144$. Значит, $\sqrt{125}$ находится между 11 и 12.
Более точное вычисление дает: $\sqrt{125} \approx 11,180...$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $11,2$ (так как вторая цифра после запятой - 8, округляем в большую сторону).
Следовательно, $x \approx \pm11,2$.
Ответ: $x \approx \pm11,2$.

302 Найдите корни уравнения и сделайте проверку, подставив их в уравнение:

а) $(x - 4)^2 = 2;$

б) $(x + 1)^2 = 3;$

в) $(2 - x)^2 = 5.$

а)

Дано уравнение: $(x - 4)^2 = 2$.

Чтобы найти $x$, сначала извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x - 4 = \sqrt{2}$ или $x - 4 = -\sqrt{2}$

Теперь решим каждое из этих двух линейных уравнений относительно $x$.

Из первого уравнения получаем первый корень: $x_1 = 4 + \sqrt{2}$.

Из второго уравнения получаем второй корень: $x_2 = 4 - \sqrt{2}$.

Проверка:

Подставим каждый корень в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения.

1. Для $x_1 = 4 + \sqrt{2}$:

$((4 + \sqrt{2}) - 4)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Равенство $2 = 2$ является верным.

2. Для $x_2 = 4 - \sqrt{2}$:

$((4 - \sqrt{2}) - 4)^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$.

Равенство $2 = 2$ также является верным.

Оба корня верны.

Ответ: $x_1 = 4 + \sqrt{2}$, $x_2 = 4 - \sqrt{2}$.

б)

Дано уравнение: $(x + 1)^2 = 3$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x + 1 = \sqrt{3}$ или $x + 1 = -\sqrt{3}$

Находим корни, решая каждое уравнение.

Первый корень: $x_1 = -1 + \sqrt{3}$.

Второй корень: $x_2 = -1 - \sqrt{3}$.

Проверка:

1. Для $x_1 = -1 + \sqrt{3}$:

$((-1 + \sqrt{3}) + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

$3 = 3$. Верно.

2. Для $x_2 = -1 - \sqrt{3}$:

$((-1 - \sqrt{3}) + 1)^2 = (-\sqrt{3})^2 = 3$.

$3 = 3$. Верно.

Оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: $x_1 = -1 + \sqrt{3}$, $x_2 = -1 - \sqrt{3}$.

в)

Дано уравнение: $(2 - x)^2 = 5$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$2 - x = \sqrt{5}$ или $2 - x = -\sqrt{5}$

Теперь выразим $x$ из каждого уравнения.

Из первого уравнения: $-x = \sqrt{5} - 2$, откуда $x_1 = 2 - \sqrt{5}$.

Из второго уравнения: $-x = -\sqrt{5} - 2$, откуда $x_2 = 2 + \sqrt{5}$.

Проверка:

1. Для $x_1 = 2 - \sqrt{5}$:

$(2 - (2 - \sqrt{5}))^2 = (2 - 2 + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

$5 = 5$. Верно.

2. Для $x_2 = 2 + \sqrt{5}$:

$(2 - (2 + \sqrt{5}))^2 = (2 - 2 - \sqrt{5})^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5$.

$5 = 5$. Верно.

Оба корня являются верными.

Ответ: $x_1 = 2 - \sqrt{5}$, $x_2 = 2 + \sqrt{5}$.

303 Решите уравнение:

а) $x^2 = 2;$

б) $(x - 1)^2 = 2;$

в) $x^2 - 1 = 2;$

г) $1 - x^2 = 2;$

д) $1 + x^2 = 2.$

а) Дано уравнение $x^2 = 2$.

Чтобы найти значение $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у квадратного уравнения может быть два корня.

$x = \pm\sqrt{2}$

Таким образом, решениями являются $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt{2}$

б) Дано уравнение $(x - 1)^2 = 2$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x - 1 = \pm\sqrt{2}$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x - 1 = \sqrt{2}$. Перенесем 1 в правую часть: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$.

2) $x - 1 = -\sqrt{2}$. Перенесем 1 в правую часть: $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$, $x_2 = 1 - \sqrt{2}$

в) Дано уравнение $x^2 - 1 = 2$.

Сначала изолируем член с $x^2$. Для этого перенесем -1 в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$x^2 = 2 + 1$

$x^2 = 3$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$

г) Дано уравнение $1 - x^2 = 2$.

Изолируем член с $x^2$. Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$-x^2 = 2 - 1$

$-x^2 = 1$

Умножим обе части уравнения на -1:

$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет корней.

д) Дано уравнение $1 + x^2 = 2$.

Изолируем член с $x^2$. Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$x^2 = 2 - 1$

$x^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{1}$

$x = \pm1$

Ответ: $x = \pm1$