Страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

288 Точка D на рисунке 2.26 имеет координаты $(\sqrt{5}; 5)$. Запишите координаты других точек графика, отмеченных на рисунке.

Для того чтобы найти координаты других точек графика, сначала необходимо определить уравнение функции, которой принадлежит данный график. Из условия известно, что точка $D$ с координатами $(\sqrt{5}; 5)$ лежит на этом графике.

Часто в подобных задачах рассматриваются степенные функции. Проверим, подходит ли функция вида $y=ax^2$ (парабола). Подставим координаты точки $D$ в это уравнение:

$5 = a \cdot (\sqrt{5})^2$

$5 = a \cdot 5$

Отсюда находим, что коэффициент $a=1$.

Следовательно, график, упомянутый в задаче, — это парабола, заданная уравнением $y=x^2$.

Теперь, зная уравнение, можно найти координаты других точек. Поскольку сам рисунок 2.26 отсутствует, мы определим координаты тех точек, которые, как правило, отмечаются на графике параболы $y=x^2$.

Вершина параболы

Вершина параболы $y=x^2$ находится в начале координат. Для нахождения ее координат подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0^2 = 0$

Таким образом, координаты вершины — $(0; 0)$.

Ответ: $(0; 0)$.

Точка, симметричная точке D

График функции $y=x^2$ симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это значит, что если точка $(x; y)$ принадлежит графику, то и точка $(-x; y)$ также ему принадлежит. Для точки $D(\sqrt{5}; 5)$ симметричной будет точка с абсциссой $-\sqrt{5}$ и той же ординатой $5$.

Координаты симметричной точки — $(-\sqrt{5}; 5)$.

Ответ: $(-\sqrt{5}; 5)$.

Точки с целочисленными абсциссами

На графиках часто отмечают точки с небольшими целочисленными абсциссами. Найдем ординаты для $x=1$ и $x=2$ и для симметричных им $x=-1$ и $x=-2$.

Если $x=1$, то $y = 1^2 = 1$. Координаты точки: $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

Если $x=-1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Координаты точки: $(-1; 1)$.

Ответ: $(-1; 1)$.

Если $x=2$, то $y = 2^2 = 4$. Координаты точки: $(2; 4)$.

Ответ: $(2; 4)$.

Если $x=-2$, то $y = (-2)^2 = 4$. Координаты точки: $(-2; 4)$.

Ответ: $(-2; 4)$.

В зависимости от того, какие именно точки были отмечены на рисунке 2.26, их координаты будут среди найденных выше.

289 Найдите квадратные корни из заданных чисел и в каждом случае назовите арифметический корень:

а) 16; 100; 10; 18; 83;

б) 0,01; 0,25; 5,6; 6,4;

В) $\frac{1}{4}$; $\frac{2}{3}$; $2\frac{1}{4}$; $2\frac{7}{9}$.

а)

Для числа 16: квадратные корни это $4$ и $-4$, поскольку $4^2 = 16$ и $(-4)^2 = 16$. Арифметический корень (неотрицательный) — это $4$.
Ответ: квадратные корни $4$ и $-4$; арифметический корень $4$.

Для числа 100: квадратные корни это $10$ и $-10$, поскольку $10^2 = 100$ и $(-10)^2 = 100$. Арифметический корень — это $10$.
Ответ: квадратные корни $10$ и $-10$; арифметический корень $10$.

Для числа 10: квадратные корни это числа $x$, для которых $x^2=10$. Это иррациональные числа $\sqrt{10}$ и $-\sqrt{10}$. Арифметический корень — это $\sqrt{10}$.
Ответ: квадратные корни $\sqrt{10}$ и $-\sqrt{10}$; арифметический корень $\sqrt{10}$.

Для числа 18: квадратные корни это $\sqrt{18}$ и $-\sqrt{18}$. Упростим корень: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$. Арифметический корень — это $3\sqrt{2}$.
Ответ: квадратные корни $3\sqrt{2}$ и $-3\sqrt{2}$; арифметический корень $3\sqrt{2}$.

Для числа 83: квадратные корни это иррациональные числа $\sqrt{83}$ и $-\sqrt{83}$. Арифметический корень — это $\sqrt{83}$.
Ответ: квадратные корни $\sqrt{83}$ и $-\sqrt{83}$; арифметический корень $\sqrt{83}$.

б)

Для числа 0,01: квадратные корни это $0,1$ и $-0,1$, так как $0,1^2 = 0,01$. Арифметический корень — это $0,1$.
Ответ: квадратные корни $0,1$ и $-0,1$; арифметический корень $0,1$.

Для числа 0,25: квадратные корни это $0,5$ и $-0,5$, так как $0,5^2 = 0,25$. Арифметический корень — это $0,5$.
Ответ: квадратные корни $0,5$ и $-0,5$; арифметический корень $0,5$.

Для числа 5,6: квадратные корни это иррациональные числа $\sqrt{5,6}$ и $-\sqrt{5,6}$. Арифметический корень — это $\sqrt{5,6}$.
Ответ: квадратные корни $\sqrt{5,6}$ и $-\sqrt{5,6}$; арифметический корень $\sqrt{5,6}$.

Для числа 6,4: квадратные корни это иррациональные числа $\sqrt{6,4}$ и $-\sqrt{6,4}$. Арифметический корень — это $\sqrt{6,4}$.
Ответ: квадратные корни $\sqrt{6,4}$ и $-\sqrt{6,4}$; арифметический корень $\sqrt{6,4}$.

в)

Для дроби $\frac{1}{4}$: квадратные корни это $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$, так как $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Арифметический корень — это $\frac{1}{2}$.
Ответ: квадратные корни $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$; арифметический корень $\frac{1}{2}$.

Для дроби $\frac{2}{3}$: квадратные корни это $\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $-\sqrt{\frac{2}{3}}$. Арифметический корень — это $\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Ответ: квадратные корни $\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $-\sqrt{\frac{2}{3}}$; арифметический корень $\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Для смешанного числа $2\frac{1}{4}$: сначала переведем его в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$. Квадратные корни из $\frac{9}{4}$ это $\frac{3}{2}$ и $-\frac{3}{2}$. Арифметический корень — это $\frac{3}{2}$.
Ответ: квадратные корни $\frac{3}{2}$ и $-\frac{3}{2}$; арифметический корень $\frac{3}{2}$.

Для смешанного числа $2\frac{7}{9}$: переведем его в неправильную дробь: $2\frac{7}{9} = \frac{25}{9}$. Квадратные корни из $\frac{25}{9}$ это $\frac{5}{3}$ и $-\frac{5}{3}$. Арифметический корень — это $\frac{5}{3}$.
Ответ: квадратные корни $\frac{5}{3}$ и $-\frac{5}{3}$; арифметический корень $\frac{5}{3}$.