Страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

290 Какие из следующих выражений не имеют смысла: $ \sqrt{27} $, $ \sqrt{-4} $, $ \sqrt{0} $, $ \sqrt{-8} $, $ \sqrt{16} $, $ \sqrt{1,6} $?

Арифметический квадратный корень, обозначаемый как $ \sqrt{a} $, имеет смысл (определен в множестве действительных чисел) только в том случае, когда подкоренное выражение $a$ является неотрицательным числом. То есть, должно выполняться неравенство $a \ge 0$. Если подкоренное выражение отрицательно ($a < 0$), то выражение $ \sqrt{a} $ не имеет смысла, так как не существует действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным.

Рассмотрим каждое из данных выражений:

$ \sqrt{27} $
Подкоренное выражение равно 27. Поскольку $27 > 0$, это выражение имеет смысл.

$ \sqrt{-4} $
Подкоренное выражение равно -4. Поскольку $-4 < 0$, это выражение не имеет смысла.

$ \sqrt{0} $
Подкоренное выражение равно 0. Поскольку $0 \ge 0$, это выражение имеет смысл (его значение равно 0).

$ \sqrt{-8} $
Подкоренное выражение равно -8. Поскольку $-8 < 0$, это выражение не имеет смысла.

$ \sqrt{16} $
Подкоренное выражение равно 16. Поскольку $16 > 0$, это выражение имеет смысл (его значение равно 4).

$ \sqrt{1.6} $
Подкоренное выражение равно 1.6. Поскольку $1.6 > 0$, это выражение имеет смысл.

Следовательно, из предложенного списка выражений не имеют смысла те, у которых под знаком корня находится отрицательное число.

Ответ: $ \sqrt{-4} $, $ \sqrt{-8} $.

291 При каких значениях a имеет смысл выражение:

а) $ \sqrt{a} $;

б) $ \sqrt{-a} $;

в) $ \sqrt{3a} $;

г) $ \sqrt{-3a} $?

а) Выражение $\sqrt{a}$ имеет смысл (определено в области действительных чисел), когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. В данном случае подкоренное выражение — это $a$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $a \ge 0$.
Ответ: при $a \ge 0$.

б) Выражение $\sqrt{-a}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. В данном случае подкоренное выражение — это $-a$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $-a \ge 0$. Чтобы найти $a$, умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $a \le 0$.
Ответ: при $a \le 0$.

в) Выражение $\sqrt{3a}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. В данном случае подкоренное выражение — это $3a$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $3a \ge 0$. Разделим обе части неравенства на положительное число $3$. Знак неравенства при этом не меняется: $a \ge \frac{0}{3}$
$a \ge 0$.
Ответ: при $a \ge 0$.

г) Выражение $\sqrt{-3a}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. В данном случае подкоренное выражение — это $-3a$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $-3a \ge 0$. Разделим обе части неравенства на отрицательное число $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $a \le \frac{0}{-3}$
$a \le 0$.
Ответ: при $a \le 0$.

Решите уравнение

(292—294).

292 а) $x^2 = 25;$

б) $x^2 = 16;$

в) $y^2 = 36;$

г) $z^2 = 0,81;$

д) $z^2 = 1;$

е) $y^2 = 0;$

ж) $t^2 = \frac{1}{4};$

з) $x^2 = \frac{9}{16}.$

а) Чтобы решить уравнение $x^2 = 25$, необходимо найти число, квадрат которого равен 25. Это означает, что нужно извлечь квадратный корень из 25. Поскольку 25 - положительное число, уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{25}$ и $x = -\sqrt{25}$. Таким образом, $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Ответ: -5; 5.

б) В уравнении $x^2 = 16$, мы ищем число, квадрат которого равен 16. Извлекая квадратный корень из 16, получаем два решения: $x = \sqrt{16}$ и $x = -\sqrt{16}$. Следовательно, $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Ответ: -4; 4.

в) Для уравнения $y^2 = 36$, мы находим число, квадрат которого равен 36. Решениями являются $y = \sqrt{36}$ и $y = -\sqrt{36}$. Таким образом, $y_1 = 6$ и $y_2 = -6$.
Ответ: -6; 6.

г) Уравнение $z^2 = 0.81$ решается извлечением квадратного корня из 0.81. Так как $0.9^2 = 0.81$, то решениями будут $z = \sqrt{0.81}$ и $z = -\sqrt{0.81}$. Получаем $z_1 = 0.9$ и $z_2 = -0.9$.
Ответ: -0.9; 0.9.

д) В уравнении $z^2 = 1$, мы ищем число, квадрат которого равен 1. Решениями являются $z = \sqrt{1}$ и $z = -\sqrt{1}$. Таким образом, $z_1 = 1$ и $z_2 = -1$.
Ответ: -1; 1.

е) Уравнение $y^2 = 0$ имеет только одно решение, так как единственное число, квадрат которого равен нулю, это сам ноль. Извлекая корень, получаем $y = \sqrt{0}$, что равно 0.
Ответ: 0.

ж) Чтобы решить уравнение $t^2 = \frac{1}{4}$, извлекаем квадратный корень из дроби $\frac{1}{4}$. Используем свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Получаем $t = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \pm\frac{1}{2}$. Таким образом, решениями являются $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$.

з) В уравнении $x^2 = \frac{9}{16}$, извлекаем квадратный корень из дроби $\frac{9}{16}$. По свойству корня из дроби, $x = \pm\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \pm\frac{3}{4}$. Следовательно, решениями являются $x_1 = \frac{3}{4}$ и $x_2 = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$; $\frac{3}{4}$.

293 а) $x^2 = 3;$

б) $x^2 = 7;$

В) $x^2 = 11;$

Г) $x^2 = 12;$

Д) $x^2 = 8;$

е) $x^2 = 72.$

а)

Дано уравнение $x^2 = 3$.

Для нахождения $x$ необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Общее решение уравнения вида $x^2 = a$, где $a \ge 0$, имеет вид $x = \pm\sqrt{a}$.

В данном случае $a=3$, поэтому корни уравнения:

$x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.

Это можно записать в виде $x = \pm\sqrt{3}$.

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$.

б)

Дано уравнение $x^2 = 7$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{7}$.

Так как 7 - простое число, корень не упрощается.

Ответ: $x = \pm\sqrt{7}$.

в)

Дано уравнение $x^2 = 11$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{11}$.

Так как 11 - простое число, корень не упрощается.

Ответ: $x = \pm\sqrt{11}$.

г)

Дано уравнение $x^2 = 12$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей: $x = \pm\sqrt{12}$.

Для упрощения корня $\sqrt{12}$ разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $12 = 4 \cdot 3$.

Теперь можно вынести множитель из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Следовательно, решение уравнения: $x = \pm2\sqrt{3}$.

Ответ: $x = \pm2\sqrt{3}$.

д)

Дано уравнение $x^2 = 8$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей: $x = \pm\sqrt{8}$.

Упростим корень, разложив 8 на множители: $8 = 4 \cdot 2$.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Следовательно, решение уравнения: $x = \pm2\sqrt{2}$.

Ответ: $x = \pm2\sqrt{2}$.

е)

Дано уравнение $x^2 = 72$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей: $x = \pm\sqrt{72}$.

Упростим корень. Найдем наибольший полный квадрат, на который делится 72. Это 36, так как $72 = 36 \cdot 2$.

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Следовательно, решение уравнения: $x = \pm6\sqrt{2}$.

Ответ: $x = \pm6\sqrt{2}$.

294 а) $x^2 - 25 = 0$;в) $4y^2 = 9$;д) $2x^2 - 4 = 0;$

б) $x^2 + 4 = 0$;г) $25x^2 = 1$;е) $2x^2 + 6 = 0$.

а) $x^2 - 25 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член (-25) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x^2 = 25$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ при $a > 0$ имеет два корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.

$x = \pm\sqrt{25}$

$x_1 = 5$

$x_2 = -5$

Ответ: $x = \pm 5$.

б) $x^2 + 4 = 0$

Перенесем свободный член (4) в правую часть уравнения:

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как в левой части уравнения стоит квадрат переменной ($x^2 \ge 0$), а в правой — отрицательное число, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

в) $4y^2 = 9$

Чтобы найти $y^2$, разделим обе части уравнения на коэффициент при нем, то есть на 4:

$y^2 = \frac{9}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$y = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$y_1 = \frac{3}{2} = 1.5$

$y_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: $y = \pm 1.5$.

г) $25x^2 = 1$

Разделим обе части уравнения на 25, чтобы выразить $x^2$:

$x^2 = \frac{1}{25}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{25}}$

$x_1 = \frac{1}{5} = 0.2$

$x_2 = -\frac{1}{5} = -0.2$

Ответ: $x = \pm 0.2$.

д) $2x^2 - 4 = 0$

Перенесем свободный член (-4) в правую часть уравнения:

$2x^2 = 4$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как 2 не является полным квадратом, корень будет иррациональным числом.

$x = \pm\sqrt{2}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{2}$.

е) $2x^2 + 6 = 0$

Перенесем свободный член (6) в правую часть уравнения:

$2x^2 = -6$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 = -3$

Как и в пункте б), мы получили, что квадрат переменной равен отрицательному числу. Это невозможно в множестве действительных чисел.

Ответ: нет корней.

295 Составьте уравнение вида $x^2 = a$, имеющее корни:

а) $3$ и $-3$;

б) $0,2$ и $-0,2$;

в) $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$.

Задача состоит в том, чтобы для каждой пары заданных корней найти такое число $a$, чтобы эти корни удовлетворяли уравнению вида $x^2 = a$.

Если некоторое число $k$ является корнем уравнения $x^2 = a$, то при подстановке его вместо $x$ должно получиться верное равенство: $k^2 = a$. Во всех подпунктах даны два корня, которые являются противоположными числами ($k$ и $-k$). Так как $(-k)^2 = k^2$, для нахождения $a$ достаточно возвести в квадрат любой из двух данных корней.

а) Даны корни 3 и -3.
Чтобы найти $a$, возведем в квадрат один из корней, например, 3:
$a = 3^2 = 9$.
Таким образом, искомое уравнение: $x^2 = 9$.
Проверим: если подставить корни в уравнение, получаются верные равенства $3^2 = 9$ и $(-3)^2 = 9$.

Ответ: $x^2 = 9$

б) Даны корни 0,2 и -0,2.
Найдем $a$, возведя в квадрат корень 0,2:
$a = (0,2)^2 = 0,04$.
Искомое уравнение: $x^2 = 0,04$.
Проверим: $(0,2)^2 = 0,04$ и $(-0,2)^2 = 0,04$. Оба равенства верны.

Ответ: $x^2 = 0,04$

в) Даны корни $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$.
Найдем $a$, возведя в квадрат корень $\sqrt{2}$:
$a = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Искомое уравнение: $x^2 = 2$.
Проверим: $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $(-\sqrt{2})^2 = 2$. Оба равенства верны.

Ответ: $x^2 = 2$

296 АНАЛИЗИРУЕМ Даны уравнения:

$x^2 = 3$, $x^2 = -144$, $x^2 = \frac{4}{9}$, $x^2 = 144$, $x^2 = 0$, $x^2 = -3$.

Выберите из них те, которые:

а) имеют два корня;

б) имеют два рациональных корня;

в) имеют два иррациональных корня;

г) имеют один корень;

д) не имеют корней.

Для решения задачи проанализируем каждое из данных уравнений вида $x^2 = a$. Общий принцип решения таких уравнений в множестве действительных чисел таков:

- Если $a > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$. Эти корни будут рациональными, если $a$ является полным квадратом рационального числа, и иррациональными в противном случае.

- Если $a = 0$, уравнение имеет один корень: $x = 0$.

- Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Проведем анализ каждого уравнения:

1. Уравнение $x^2 = 3$. Здесь $a=3$, что больше нуля. Следовательно, уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. Поскольку 3 не является полным квадратом, корни иррациональные.

2. Уравнение $x^2 = -144$. Здесь $a=-144$, что меньше нуля. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

3. Уравнение $x^2 = \frac{4}{9}$. Здесь $a=\frac{4}{9}$, что больше нуля. Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ и $x = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$. Оба корня являются рациональными числами.

4. Уравнение $x^2 = 144$. Здесь $a=144$, что больше нуля. Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{144} = 12$ и $x = -\sqrt{144} = -12$. Оба корня являются целыми, а значит, и рациональными числами.

5. Уравнение $x^2 = 0$. Здесь $a=0$. Следовательно, уравнение имеет один корень: $x = 0$.

6. Уравнение $x^2 = -3$. Здесь $a=-3$, что меньше нуля. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Теперь, основываясь на проведенном анализе, выберем соответствующие уравнения для каждого пункта.

а) имеют два корня

Уравнение имеет два корня, если правая часть уравнения (число $a$) положительна. Из данного списка уравнений этому условию удовлетворяют те, у которых $a > 0$.

Ответ: $x^2 = 3, x^2 = \frac{4}{9}, x^2 = 144$.

б) имеют два рациональных корня

Уравнение имеет два рациональных корня, если $a$ является положительным числом и при этом полным квадратом рационального числа. Из нашего анализа этому условию соответствуют два уравнения.

Ответ: $x^2 = \frac{4}{9}, x^2 = 144$.

в) имеют два иррациональных корня

Уравнение имеет два иррациональных корня, если $a$ является положительным числом, но не является полным квадратом рационального числа. Этому условию соответствует одно уравнение из списка.

Ответ: $x^2 = 3$.

г) имеют один корень

Уравнение имеет ровно один корень, если его правая часть равна нулю ($a=0$). Этому условию удовлетворяет только одно уравнение.

Ответ: $x^2 = 0$.

д) не имеют корней

Уравнение не имеет действительных корней, если его правая часть является отрицательным числом ($a < 0$). В нашем списке есть два таких уравнения.

Ответ: $x^2 = -144, x^2 = -3$.

297 Найдите x, если:

а) $ \frac{x}{18} = \frac{2}{x} $;

б) $ \frac{5}{x} = \frac{x}{2} $;

в) $ \frac{x}{50} = \frac{0,5}{x} $;

г) $ \frac{0,3}{x} = \frac{x}{10} $.

Подсказка. Примените основное свойство пропорции.

а) Дана пропорция $\frac{x}{18} = \frac{2}{x}$.
Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для данной пропорции это означает, что произведение $x$ и $x$ равно произведению $18$ и $2$.
Получаем уравнение:
$x \cdot x = 18 \cdot 2$
$x^2 = 36$
Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{36}$
$x = \pm 6$
Ответ: $x = \pm 6$.

б) Дана пропорция $\frac{5}{x} = \frac{x}{2}$.
Используя основное свойство пропорции, приравниваем произведение крайних членов ($5$ и $2$) к произведению средних членов ($x$ и $x$).
Получаем уравнение:
$5 \cdot 2 = x \cdot x$
$10 = x^2$
$x^2 = 10$
Извлекая корень, находим $x$:
$x = \pm\sqrt{10}$
Ответ: $x = \pm\sqrt{10}$.

в) Дана пропорция $\frac{x}{50} = \frac{0,5}{x}$.
По основному свойству пропорции, произведение крайних членов ($x$ и $x$) равно произведению средних ($50$ и $0,5$).
Составляем и решаем уравнение:
$x \cdot x = 50 \cdot 0,5$
$x^2 = 25$
$x = \pm\sqrt{25}$
$x = \pm 5$
Ответ: $x = \pm 5$.

г) Дана пропорция $\frac{0,3}{x} = \frac{x}{10}$.
Применяя основное свойство пропорции, получаем, что произведение крайних членов ($0,3$ и $10$) равно произведению средних ($x$ и $x$).
Составляем и решаем уравнение:
$0,3 \cdot 10 = x \cdot x$
$3 = x^2$
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$
Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$.