Страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

272 Найдите сторону прямоугольного треугольника, обозначенную буквой (рис. 2.18, а, б). Если результат выражается иррациональным числом, то дайте два ответа: точное значение и приближённое, округлив его до сотых.

Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника используется теорема Пифагора. Она гласит, что квадрат длины гипотенузы (стороны, лежащей напротив прямого угла) равен сумме квадратов длин катетов (сторон, прилежащих к прямому углу). Формула теоремы Пифагора выглядит так: $c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ – это гипотенуза, а $a$ и $b$ – катеты.

Поскольку сами рисунки 2.18, а и б не приложены к вопросу, ниже приведены решения для двух возможных вариантов задач, которые могли быть на этих рисунках.

а)

Предположим, на рисунке а дан прямоугольный треугольник, в котором требуется найти гипотенузу, а катеты равны 7 и 9. Обозначим неизвестную гипотенузу буквой $x$.

По теореме Пифагора, $x$ является гипотенузой, поэтому:

$x^2 = 7^2 + 9^2$

$x^2 = 49 + 81$

$x^2 = 130$

$x = \sqrt{130}$

Полученный результат, $\sqrt{130}$, является иррациональным числом. Согласно условию задачи, необходимо дать два ответа: точное значение и приближенное, округленное до сотых.

Точное значение: $x = \sqrt{130}$.

Для нахождения приближенного значения вычислим корень и округлим результат:

$x = \sqrt{130} \approx 11.40175...$

Округляя до сотых, получаем $11.40$.

Ответ: точное значение $x = \sqrt{130}$; приближенное значение $x \approx 11.40$.

б)

Предположим, на рисунке б дан прямоугольный треугольник, в котором известна гипотенуза, равная 10, и один из катетов, равный 6. Требуется найти второй катет, обозначенный буквой $y$.

По теореме Пифагора:

$10^2 = 6^2 + y^2$

Чтобы найти $y^2$, вычтем из квадрата гипотенузы квадрат известного катета:

$y^2 = 10^2 - 6^2$

$y^2 = 100 - 36$

$y^2 = 64$

Теперь найдем $y$, извлекая квадратный корень:

$y = \sqrt{64}$

$y = 8$

Результат является целым (рациональным) числом, поэтому необходимо дать только один ответ.

Ответ: $y = 8$.

273 Велосипедист проехал из пункта M в пункт N по улицам (рис. 2.19). Какое расстояние он проехал? Если бы можно было проехать напрямик, то на сколько короче оказался бы его путь?

Расстояние по улицам: $3 \text{ км} + 1 \text{ км}$

Прямой путь: $\sqrt{3^2 + 1^2}$

Короче на: $(3 + 1) - \sqrt{3^2 + 1^2}$

Рис. 2.19

a) $c = \sqrt{6^2 + 9^2}$

б) $k = \sqrt{24^2 - 7^2}$

Рис. 2.18

Какое расстояние он проехал?

Чтобы найти расстояние, которое велосипедист проехал по улицам, необходимо сложить длины двух участков его пути. Согласно рисунку, первый участок от точки $M$ до перекрестка равен 3 км, а второй участок от перекрестка до точки $N$ равен 1 км.

Суммарное расстояние $S_{улицы}$ равно:

$S_{улицы} = 3 \text{ км} + 1 \text{ км} = 4 \text{ км}$

Ответ: 4 км.

Если бы можно было проехать напрямик, то на сколько короче оказался бы его путь?

Путь по улицам и прямой путь между точками $M$ и $N$ образуют прямоугольный треугольник. Участки пути по улицам (3 км и 1 км) являются катетами этого треугольника, а прямой путь — его гипотенузой.

Для нахождения длины прямого пути (гипотенузы $c$) воспользуемся теоремой Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

Подставим значения длин катетов: $a = 3$ км и $b = 1$ км.

$c^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$

Следовательно, длина прямого пути равна:

$c = \sqrt{10}$ км.

Теперь найдем, на сколько путь напрямик короче пути по улицам. Для этого вычтем из расстояния по улицам расстояние напрямик:

Разница = $S_{улицы} - c = (4 - \sqrt{10}) \text{ км}$.

(Для справки, можно вычислить примерное значение: $\sqrt{10} \approx 3,16$ км, тогда разница составляет $4 - 3,16 \approx 0,84$ км).

Ответ: на $(4 - \sqrt{10})$ км.