Страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

253 АНАЛИЗИРУЕМ

Пользуясь таблицей (см. упражнение 252), сравните: $\sqrt{8}$ и $\sqrt{5}$, $\sqrt{13}$ и $\sqrt{17}$, $\sqrt{19}$ и $\sqrt{10}$, $\sqrt{11}$ и $\sqrt{7}$. Как меняются значения $\sqrt{n}$ с увеличением $n$?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством функции квадратного корня. Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Это означает, что для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то $\sqrt{a} > \sqrt{b}$. Проще говоря, чем больше число под корнем, тем больше значение самого корня.

$\sqrt{8}$ и $\sqrt{5}$

Сравним подкоренные выражения: $8$ и $5$. Поскольку $8 > 5$, то и значение корня из 8 будет больше значения корня из 5.

$\sqrt{8} > \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{8} > \sqrt{5}$.

$\sqrt{13}$ и $\sqrt{17}$

Сравним подкоренные выражения: $13$ и $17$. Поскольку $13 < 17$, то и значение корня из 13 будет меньше значения корня из 17.

$\sqrt{13} < \sqrt{17}$

Ответ: $\sqrt{13} < \sqrt{17}$.

$\sqrt{19}$ и $\sqrt{10}$

Сравним подкоренные выражения: $19$ и $10$. Поскольку $19 > 10$, то и значение корня из 19 будет больше значения корня из 10.

$\sqrt{19} > \sqrt{10}$

Ответ: $\sqrt{19} > \sqrt{10}$.

$\sqrt{11}$ и $\sqrt{7}$

Сравним подкоренные выражения: $11$ и $7$. Поскольку $11 > 7$, то и значение корня из 11 будет больше значения корня из 7.

$\sqrt{11} > \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{11} > \sqrt{7}$.

Как меняются значения $\sqrt{n}$ с увеличением $n$?

Как было показано на примерах выше, значение выражения $\sqrt{n}$ напрямую зависит от величины подкоренного выражения $n$. Так как функция $y = \sqrt{n}$ является монотонно возрастающей, то при увеличении аргумента $n$ (для $n \ge 0$), значение функции $\sqrt{n}$ также увеличивается.

Если взять два любых неотрицательных числа $n_1$ и $n_2$ таких, что $n_2 > n_1$, то всегда будет выполняться неравенство $\sqrt{n_2} > \sqrt{n_1}$.

Ответ: С увеличением $n$ значения $\sqrt{n}$ увеличиваются.

254 Что больше: $\sqrt{80}$ или $\sqrt{90}$; $\sqrt{168}$ или $\sqrt{104}$? Проверьте себя с помощью калькулятора.

$\sqrt{80}$ или $\sqrt{90}$

Чтобы сравнить два числа, находящиеся под знаком квадратного корня, нужно сравнить их подкоренные выражения. Это связано с тем, что функция $y=\sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$, если $a > b$, то и $\sqrt{a} > \sqrt{b}$.

Сравним подкоренные выражения: 80 и 90.

Очевидно, что $90 > 80$.

Следовательно, $\sqrt{90} > \sqrt{80}$.

Проверка с помощью калькулятора:

$\sqrt{80} \approx 8,944$

$\sqrt{90} \approx 9,487$

Поскольку $9,487 > 8,944$, наше аналитическое решение верно.

Ответ: $\sqrt{90} > \sqrt{80}$.

$\sqrt{168}$ или $\sqrt{104}$

Применяем то же правило: для сравнения корней сравним их подкоренные выражения.

Сравним числа 168 и 104.

Так как $168 > 104$, можно сделать вывод, что $\sqrt{168} > \sqrt{104}$.

Проверка с помощью калькулятора:

$\sqrt{168} \approx 12,961$

$\sqrt{104} \approx 10,198$

Так как $12,961 > 10,198$, наше аналитическое решение подтверждается.

Ответ: $\sqrt{168} > \sqrt{104}$.

255 Покажите на координатной прямой примерное расположение чисел $\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, ..., \sqrt{20}$. (За единичный отрезок примите 5 клеток.)

Для того чтобы показать примерное расположение чисел $\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, ..., \sqrt{20}$ на координатной прямой, необходимо выполнить несколько шагов. Сначала мы найдем их приближенные десятичные значения, а затем, используя заданный масштаб (1 единичный отрезок = 5 клеток), нанесем точки на координатную прямую.

Шаг 1: Вычисление приближенных значений

Найдем десятичные приближения для каждого числа, чтобы точно определить их положение между целыми числами. Для чисел, являющихся точными квадратами, корень будет целым числом.

• $\sqrt{1} = 1$
• $\sqrt{2} \approx 1.41$
• $\sqrt{3} \approx 1.73$
• $\sqrt{4} = 2$
• $\sqrt{5} \approx 2.24$
• $\sqrt{6} \approx 2.45$
• $\sqrt{7} \approx 2.65$
• $\sqrt{8} \approx 2.83$
• $\sqrt{9} = 3$
• $\sqrt{10} \approx 3.16$
• $\sqrt{11} \approx 3.32$
• $\sqrt{12} \approx 3.46$
• $\sqrt{13} \approx 3.61$
• $\sqrt{14} \approx 3.74$
• $\sqrt{15} \approx 3.87$
• $\sqrt{16} = 4$
• $\sqrt{17} \approx 4.12$
• $\sqrt{18} \approx 4.24$
• $\sqrt{19} \approx 4.36$
• $\sqrt{20} \approx 4.47$

Шаг 2: Построение координатной прямой и нанесение точек

Начертим координатную прямую. Согласно условию, единичный отрезок равен 5 клеткам. Это значит, что расстояние между, например, 0 и 1, или 1 и 2, делится на 5 равных частей (клеток).

Теперь отметим числа на этой прямой:

• Числа $\sqrt{1}, \sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}$ точно совпадут с целыми отметками 1, 2, 3 и 4.
• Остальные числа расположатся между целыми отметками. Например, $\sqrt{2} \approx 1.41$. Это значение находится между 1 и 2. Так как единичный отрезок (от 1 до 2) — это 5 клеток, то $\sqrt{2}$ будет находиться на расстоянии $0.41 \times 5 \approx 2.05$ клетки от отметки 1.
• Аналогично, $\sqrt{3} \approx 1.73$ будет на расстоянии $0.73 \times 5 \approx 3.65$ клетки от отметки 1.
• Число $\sqrt{20} \approx 4.47$ будет находиться между 4 и 5, на расстоянии $0.47 \times 5 \approx 2.35$ клетки от отметки 4.

Ниже представлено графическое изображение координатной прямой с отмеченными точками. Маленькие серые деления обозначают "клетки".

Ответ:

Примерное расположение чисел от $\sqrt{1}$ до $\sqrt{20}$ показано на координатной прямой на рисунке выше. Точки, соответствующие корням из полных квадратов ($\sqrt{1}, \sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}$), отмечены красным цветом и совпадают с целочисленными делениями 1, 2, 3, 4. Остальные точки (отмечены синим) располагаются между целыми числами в соответствии с их приближенными значениями. Характерной особенностью является то, что расстояние между соседними точками $\sqrt{n}$ и $\sqrt{n+1}$ уменьшается по мере увеличения $n$.

256 Покажите на координатной прямой примерное расположение чисел $\sqrt{3}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{12}$, $-\sqrt{3}$, $-\sqrt{8}$, $-\sqrt{12}$.

Для того чтобы показать примерное расположение заданных чисел на координатной прямой, необходимо оценить их значения. Сделаем это пошагово.

1. Оценка положительных чисел $\sqrt{3}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{12}$

Чтобы найти примерное положение иррационального числа $\sqrt{a}$ на координатной прямой, нужно найти два целых числа, между которыми оно находится. Для этого сравним подкоренное выражение $a$ с ближайшими к нему точными квадратами целых чисел.

• Для числа $\sqrt{3}$: мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$. Поскольку $1 < 3 < 4$, мы можем записать неравенство $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$. Отсюда следует, что $1 < \sqrt{3} < 2$. Таким образом, число $\sqrt{3}$ находится на координатной прямой между 1 и 2. Его приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.73$.

• Для числа $\sqrt{8}$: мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Поскольку $4 < 8 < 9$, мы можем записать неравенство $\sqrt{4} < \sqrt{8} < \sqrt{9}$. Отсюда следует, что $2 < \sqrt{8} < 3$. Таким образом, число $\sqrt{8}$ находится на координатной прямой между 2 и 3. Его приблизительное значение $\sqrt{8} \approx 2.83$.

• Для числа $\sqrt{12}$: мы знаем, что $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Поскольку $9 < 12 < 16$, мы можем записать неравенство $\sqrt{9} < \sqrt{12} < \sqrt{16}$. Отсюда следует, что $3 < \sqrt{12} < 4$. Таким образом, число $\sqrt{12}$ находится на координатной прямой между 3 и 4. Его приблизительное значение $\sqrt{12} \approx 3.46$.

2. Оценка отрицательных чисел $-\sqrt{3}$, $-\sqrt{8}$, $-\sqrt{12}$

Отрицательные числа $-\sqrt{3}$, $-\sqrt{8}$ и $-\sqrt{12}$ являются противоположными к соответствующим положительным числам. На координатной прямой они будут расположены симметрично им относительно точки 0.

• $-\sqrt{3} \approx -1.73$ (находится между -2 и -1).

• $-\sqrt{8} \approx -2.83$ (находится между -3 и -2).

• $-\sqrt{12} \approx -3.46$ (находится между -4 и -3).

3. Расположение всех чисел на координатной прямой

Теперь, зная примерные значения всех чисел, мы можем расположить их в порядке возрастания:

$-\sqrt{12} < -\sqrt{8} < -\sqrt{3} < \sqrt{3} < \sqrt{8} < \sqrt{12}$

Изобразим их расположение на координатной прямой.

Ответ: Примерное расположение чисел на координатной прямой показано на рисунке выше. Числа расположены в следующем порядке возрастания: $-\sqrt{12}$, $-\sqrt{8}$, $-\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{12}$.

257 На каждом рисунке (рис. 2.6) укажите отрезок между двумя соседними делениями, которому принадлежит число: $\sqrt{5}$, $\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$.

0 1 2 3 4 5

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

Рис. 2.6

Чтобы определить, какому отрезку на каждом рисунке принадлежит каждое из чисел, необходимо оценить их значения, сравнивая с квадратами чисел на числовой оси.

$\sqrt{5}$

Сначала определим положение числа $\sqrt{5}$ на первой числовой оси с целыми числами. Для этого сравним подкоренное выражение 5 с квадратами ближайших целых чисел: $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Поскольку $4 < 5 < 9$, то справедливо неравенство $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{5} < 3$. Таким образом, на первом рисунке число $\sqrt{5}$ находится на отрезке между 2 и 3.

Теперь определим положение числа $\sqrt{5}$ на второй числовой оси с шагом 0,1. Для этого будем возводить в квадрат числа с одним знаком после запятой: $2,2^2 = 4,84$ и $2,3^2 = 5,29$. Так как $4,84 < 5 < 5,29$, то $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$. Следовательно, на втором рисунке число $\sqrt{5}$ находится на отрезке между 2,2 и 2,3.

Ответ: На первом рисунке число $\sqrt{5}$ принадлежит отрезку между 2 и 3; на втором рисунке — отрезку между 2,2 и 2,3.

$\sqrt{6}$

Для первой числовой оси: сравним 6 с квадратами целых чисел. $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Так как $4 < 6 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{6} < 3$. На первом рисунке число $\sqrt{6}$ находится на отрезке между 2 и 3.

Для второй числовой оси: оценим $\sqrt{6}$ с точностью до десятых. Возводим в квадрат: $2,4^2 = 5,76$ и $2,5^2 = 6,25$. Так как $5,76 < 6 < 6,25$, то $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$. Следовательно, на втором рисунке число $\sqrt{6}$ находится на отрезке между 2,4 и 2,5.

Ответ: На первом рисунке число $\sqrt{6}$ принадлежит отрезку между 2 и 3; на втором рисунке — отрезку между 2,4 и 2,5.

$\sqrt{7}$

Для первой числовой оси: сравним 7 с квадратами целых чисел. $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$. Так как $4 < 7 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, что означает $2 < \sqrt{7} < 3$. На первом рисунке число $\sqrt{7}$ находится на отрезке между 2 и 3.

Для второй числовой оси: оценим $\sqrt{7}$ с точностью до десятых. Возводим в квадрат: $2,6^2 = 6,76$ и $2,7^2 = 7,29$. Так как $6,76 < 7 < 7,29$, то $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$. Следовательно, на втором рисунке число $\sqrt{7}$ находится на отрезке между 2,6 и 2,7.

Ответ: На первом рисунке число $\sqrt{7}$ принадлежит отрезку между 2 и 3; на втором рисунке — отрезку между 2,6 и 2,7.

258 a) Каждое из чисел $ \sqrt{12}, \sqrt{19}, \sqrt{28} $ соотнесите с соответствующей ему точкой координатной прямой (рис. 2.7).

Рис. 2.7

б) На координатной прямой (рис. 2.8) точки $K$ и $L$ отмечены два из следующих чисел: $ \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{0,4} $. Какое число соответствует точке $K$ и какое — точке $L$?

Рис. 2.8

а) Чтобы соотнести числа с точками на координатной прямой, оценим приближенные значения квадратных корней. Для этого сравним подкоренные выражения с ближайшими квадратами целых чисел.

Для числа $\sqrt{12}$:
Поскольку $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $9 < 12 < 16$. Это означает, что $\sqrt{9} < \sqrt{12} < \sqrt{16}$, или $3 < \sqrt{12} < 4$. На рисунке 2.7 в этом интервале находится только точка B. Следовательно, числу $\sqrt{12}$ соответствует точка B.

Для числа $\sqrt{19}$:
Поскольку $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $16 < 19 < 25$. Это означает, что $\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25}$, или $4 < \sqrt{19} < 5$. В этом интервале находятся точки C и D. Чтобы выбрать правильную, определим, к какому целому числу $\sqrt{19}$ ближе. Сравним расстояния: $19 - 16 = 3$ и $25 - 19 = 6$. Так как 19 ближе к 16, то и $\sqrt{19}$ ближе к 4, чем к 5. На рисунке точка C расположена ближе к 4. Следовательно, числу $\sqrt{19}$ соответствует точка C.

Для числа $\sqrt{28}$:
Поскольку $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, то $25 < 28 < 36$. Это означает, что $\sqrt{25} < \sqrt{28} < \sqrt{36}$, или $5 < \sqrt{28} < 6$. На рисунке 2.7 в этом интервале находится только точка E. Следовательно, числу $\sqrt{28}$ соответствует точка E.

Ответ: $\sqrt{12}$ соответствует точке B, $\sqrt{19}$ — точке C, $\sqrt{28}$ — точке E.

б) Сначала оценим приближенные значения данных чисел:

• $\sqrt{3}$: так как $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Более точное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.
• $\sqrt{5}$: так как $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. Более точное значение $\sqrt{5} \approx 2.236$.
• $\sqrt{7}$: так как $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. Более точное значение $\sqrt{7} \approx 2.646$.
• $\sqrt{0.4}$: так как $0^2=0$ и $1^2=1$, то $0 < \sqrt{0.4} < 1$. Более точное значение $\sqrt{0.4} \approx 0.632$.

Теперь определим координаты точек K и L на координатной прямой (рис. 2.8). Единичный отрезок (например, от 0 до 1) разделен на 4 равных деления. Следовательно, цена одного деления равна $1/4 = 0.25$.

Точка K находится между 0 и 1. Она расположена между вторым ($0.5$) и третьим ($0.75$) делением, ближе к третьему. Ее координата примерно равна 0.6–0.7. Из предложенных чисел этому значению наиболее близко $\sqrt{0.4} \approx 0.632$.

Точка L находится между 2 и 3. Она расположена точно на первом делении после 2. Её координата равна $2 + 0.25 = 2.25$. Из предложенных чисел этому значению наиболее близко $\sqrt{5} \approx 2.236$.

Ответ: Точке K соответствует число $\sqrt{0.4}$, а точке L — число $\sqrt{5}$.