Страница 66 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ (225-226)

Вычислите:

225 а) $\sqrt{4}$; г) $\sqrt{100}$; ж) $\sqrt{0,09}$;

б) $\sqrt{36}$; д) $\sqrt{16}$; з) $\sqrt{0,49}$;

в) $\sqrt{1}$; е) $\sqrt{0,01}$; и) $\sqrt{0,0064}$.

а) Квадратный корень из числа 4 – это такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат дает 4. Таким числом является 2, так как $2^2 = 4$.
Следовательно, $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2

б) Чтобы вычислить $\sqrt{36}$, нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен 36. Из таблицы умножения мы знаем, что $6 \times 6 = 36$.
Следовательно, $\sqrt{36} = \sqrt{6^2} = 6$.
Ответ: 6

в) Квадратный корень из 1 – это число, которое при умножении само на себя дает 1. Таким числом является 1.
$\sqrt{1} = \sqrt{1^2} = 1$.
Ответ: 1

г) Нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен 100. Мы знаем, что $10^2 = 10 \times 10 = 100$.
Поэтому, $\sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10

д) Вычисление $\sqrt{16}$ сводится к поиску неотрицательного числа, которое в квадрате дает 16. Это число 4, так как $4^2 = 16$.
Следовательно, $\sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4

е) Для вычисления корня из десятичной дроби $\sqrt{0,01}$ можно представить ее в виде обыкновенной дроби: $0,01 = \frac{1}{100}$.
Тогда $\sqrt{0,01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Проверка: $0,1^2 = 0,1 \times 0,1 = 0,01$.
Ответ: 0,1

ж) Чтобы найти $\sqrt{0,09}$, ищем неотрицательное число, квадрат которого равен 0,09. Мы знаем, что $3^2=9$. Так как под корнем два знака после запятой, в ответе будет один знак.
Проверим число 0,3: $0,3^2 = 0,3 \times 0,3 = 0,09$.
Следовательно, $\sqrt{0,09} = 0,3$.
Ответ: 0,3

з) Найдем $\sqrt{0,49}$. Нам нужно найти неотрицательное число, которое при возведении в квадрат дает 0,49. Поскольку $7^2=49$, проверим число 0,7.
$0,7^2 = 0,7 \times 0,7 = 0,49$.
Таким образом, $\sqrt{0,49} = 0,7$.
Ответ: 0,7

и) Для вычисления $\sqrt{0,0064}$, заметим, что $64 = 8^2$. В числе 0,0064 четыре знака после запятой, значит, в его квадратном корне будет в два раза меньше, то есть два знака после запятой.
Проверим число 0,08: $0,08^2 = 0,08 \times 0,08 = 0,0064$.
Значит, $\sqrt{0,0064} = 0,08$.
Ответ: 0,08

226 a) $\sqrt{\frac{1}{81}};$

б) $\sqrt{\frac{1}{100}};$

в) $\sqrt{\frac{4}{25}};$

г) $\sqrt{\frac{9}{64}};$

д) $\sqrt{\frac{400}{49}};$

e) $\sqrt{\frac{16}{9}}.$

а) Для вычисления квадратного корня из дроби воспользуемся свойством корня из частного: $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.

Применяя это свойство, получаем:

$ \sqrt{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{81}} $

Так как $ \sqrt{1} = 1 $ и $ \sqrt{81} = 9 $, то результат равен:

$ \frac{1}{9} $

Ответ: $ \frac{1}{9} $

б) Аналогично, используем свойство корня из частного:

$ \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} $

Зная, что $ \sqrt{1} = 1 $ и $ \sqrt{100} = 10 $, находим значение выражения:

$ \frac{1}{10} $

Ответ: $ \frac{1}{10} $

в) Применим свойство $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $ к данному выражению:

$ \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} $

Поскольку $ \sqrt{4} = 2 $ и $ \sqrt{25} = 5 $, получаем:

$ \frac{2}{5} $

Ответ: $ \frac{2}{5} $

г) Снова используем правило извлечения корня из дроби:

$ \sqrt{\frac{9}{64}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}} $

Вычисляем значения корней в числителе и знаменателе: $ \sqrt{9} = 3 $ и $ \sqrt{64} = 8 $. Тогда:

$ \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{8} $

д) Для дроби $ \frac{400}{49} $ вычисление будет следующим:

$ \sqrt{\frac{400}{49}} = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{49}} $

Так как $ 20^2 = 400 $, то $ \sqrt{400} = 20 $. Также $ \sqrt{49} = 7 $. В результате получаем:

$ \frac{20}{7} $

Ответ: $ \frac{20}{7} $

е) Для последнего выражения $ \sqrt{\frac{16}{9}} $ поступаем аналогично:

$ \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}} $

Находим корни: $ \sqrt{16} = 4 $ и $ \sqrt{9} = 3 $. Следовательно, итоговый ответ:

$ \frac{4}{3} $

Ответ: $ \frac{4}{3} $

227 Вычислите, пользуясь таблицей квадратов двузначных чисел:

а) $\sqrt{169}$; в) $\sqrt{441}$; д) $\sqrt{1024}$; ж) $\sqrt{\frac{100}{361}}$; и) $\sqrt{1,44}$;

б) $\sqrt{289}$; г) $\sqrt{625}$; е) $\sqrt{2401}$; з) $\sqrt{\frac{169}{9}}$; к) $\sqrt{0,0121}$.

а) Чтобы вычислить $\sqrt{169}$, нужно найти такое число, которое при возведении в квадрат дает 169. Используя таблицу квадратов двузначных чисел, находим, что $13^2 = 169$. Следовательно, $\sqrt{169} = 13$.
Ответ: 13

б) Для вычисления $\sqrt{289}$ найдем число, квадрат которого равен 289. По таблице квадратов двузначных чисел определяем, что $17^2 = 289$. Значит, $\sqrt{289} = 17$.
Ответ: 17

в) Чтобы найти $\sqrt{441}$, ищем число, квадрат которого равен 441. В таблице квадратов двузначных чисел находим, что $21^2 = 441$. Таким образом, $\sqrt{441} = 21$.
Ответ: 21

г) Для нахождения $\sqrt{625}$ необходимо найти число, квадрат которого равен 625. Из таблицы квадратов двузначных чисел известно, что $25^2 = 625$. Следовательно, $\sqrt{625} = 25$.
Ответ: 25

д) Чтобы вычислить $\sqrt{1024}$, найдем число, которое в квадрате дает 1024. По таблице квадратов двузначных чисел находим, что $32^2 = 1024$. Значит, $\sqrt{1024} = 32$.
Ответ: 32

е) Для вычисления $\sqrt{2401}$ ищем число, квадрат которого равен 2401. Обратившись к таблице квадратов, находим $49^2 = 2401$. Таким образом, $\sqrt{2401} = 49$.
Ответ: 49

ж) Для вычисления корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Получаем $\sqrt{\frac{100}{361}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{361}}$. Из таблицы квадратов известно, что $10^2 = 100$ и $19^2 = 361$. Следовательно, $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{361}} = \frac{10}{19}$.
Ответ: $\frac{10}{19}$

з) Используем свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{169}{9}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{9}}$. По таблице квадратов находим $\sqrt{169} = 13$. Корень из 9 равен 3, так как $3^2 = 9$. В результате получаем $\frac{13}{3}$.
Ответ: $\frac{13}{3}$

и) Чтобы вычислить $\sqrt{1,44}$, представим десятичное число в виде обыкновенной дроби: $1,44 = \frac{144}{100}$. Тогда $\sqrt{1,44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{100}}$. Из таблицы квадратов известно, что $\sqrt{144} = 12$ и $\sqrt{100} = 10$. Получаем $\frac{12}{10} = 1,2$.
Ответ: 1,2

к) Для вычисления $\sqrt{0,0121}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,0121 = \frac{121}{10000}$. Тогда $\sqrt{0,0121} = \sqrt{\frac{121}{10000}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{10000}}$. По таблице квадратов находим, что $\sqrt{121} = 11$. Квадратный корень из 10000 равен 100, так как $100^2 = 10000$. В итоге получаем $\frac{11}{100} = 0,11$.
Ответ: 0,11

228 Найдите значение выражения $\sqrt{x}$ при заданных значениях переменной:

а) $x = 1; 9; 64;$

б) $x = \frac{1}{25}; \frac{49}{81}; \frac{100}{121};$

в) $x = 0,01; 0,04; 0,36.$

а) Требуется найти значение выражения $\sqrt{x}$ при $x = 1; 9; 64$.

Арифметический квадратный корень из числа — это неотрицательное число, квадрат которого равен исходному числу.

• При $x = 1$:
  $\sqrt{1} = 1$, так как $1^2 = 1$.
• При $x = 9$:
  $\sqrt{9} = 3$, так как $3^2 = 9$.
• При $x = 64$:
  $\sqrt{64} = 8$, так как $8^2 = 64$.

Ответ: 1; 3; 8.

б) Требуется найти значение выражения $\sqrt{x}$ при $x = \frac{1}{25}; \frac{49}{81}; \frac{100}{121}$.

Для нахождения корня из дроби используем свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

• При $x = \frac{1}{25}$:
  $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.
• При $x = \frac{49}{81}$:
  $\sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}} = \frac{7}{9}$.
• При $x = \frac{100}{121}$:
  $\sqrt{\frac{100}{121}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}} = \frac{10}{11}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$; $\frac{7}{9}$; $\frac{10}{11}$.

в) Требуется найти значение выражения $\sqrt{x}$ при $x = 0,01; 0,04; 0,36$.

Для десятичных дробей можно найти такое число, которое при возведении в квадрат даст исходную дробь, или представить десятичную дробь в виде обыкновенной.

• При $x = 0,01$:
  $\sqrt{0,01} = 0,1$, так как $0,1^2 = 0,1 \times 0,1 = 0,01$.
  Альтернативно: $\sqrt{0,01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0,1$.
• При $x = 0,04$:
  $\sqrt{0,04} = 0,2$, так как $0,2^2 = 0,2 \times 0,2 = 0,04$.
  Альтернативно: $\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = 0,2$.
• При $x = 0,36$:
  $\sqrt{0,36} = 0,6$, так как $0,6^2 = 0,6 \times 0,6 = 0,36$.
  Альтернативно: $\sqrt{0,36} = \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Ответ: 0,1; 0,2; 0,6.

229 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Верно ли, что:

a) $\sqrt{2704} = 52;$

б) $\sqrt{0.0324} = 0.18;$

в) $\sqrt{4.29} = 2.3;$

г) $\sqrt{0.961} = 0.31?$

а) Чтобы проверить, верно ли равенство $\sqrt{2704} = 52$, необходимо возвести число 52 в квадрат. Если результат будет равен подкоренному выражению (2704), то равенство верно.

Выполним проверку, возведя 52 в квадрат:

$52^2 = 52 \times 52 = 2704$

Так как $52^2 = 2704$, равенство является верным.

Ответ: верно.

б) Проверим равенство $\sqrt{0.0324} = 0.18$, возведя 0,18 в квадрат.

Вычислим $0.18^2$:

$0.18^2 = 0.18 \times 0.18$. Для удобства сначала вычислим $18^2 = 324$. В числе 0.18 два знака после запятой, поэтому в его квадрате будет четыре знака после запятой ($2+2=4$).

Следовательно, $0.18^2 = 0.0324$.

Равенство верно.

Ответ: верно.

в) Проверим, верно ли равенство $\sqrt{4.29} = 2.3$. Для этого возведем 2.3 в квадрат.

Вычислим $2.3^2$:

$2.3^2 = 2.3 \times 2.3$. Сначала вычислим $23^2 = 529$. В числе 2.3 один знак после запятой, поэтому в его квадрате будет два знака после запятой ($1+1=2$).

Следовательно, $2.3^2 = 5.29$.

Так как $5.29 \neq 4.29$, равенство является неверным.

Ответ: неверно.

г) Проверим равенство $\sqrt{0.961} = 0.31$, возведя 0.31 в квадрат.

Вычислим $0.31^2$:

$0.31^2 = 0.31 \times 0.31$. Сначала вычислим $31^2 = 961$. В числе 0.31 два знака после запятой, поэтому в его квадрате будет четыре знака после запятой ($2+2=4$).

Следовательно, $0.31^2 = 0.0961$.

Так как $0.0961 \neq 0.961$, равенство является неверным.

Ответ: неверно.

РАССУЖДАЕМ (230-232)

230 Запишите равенство, связывающее данные числа, не используя знак $\sqrt{}$:

а) $\sqrt{625} = 25$;

б) $34 = \sqrt{1156}$;

в) $43 = \sqrt{1849}$;

г) $\sqrt{0,0441} = 0,21$.

Чтобы записать равенство, связывающее данные числа, без использования знака квадратного корня ($\sqrt{}$), необходимо воспользоваться определением арифметического квадратного корня. Если $\sqrt{a} = b$, то по определению это равносильно тому, что $b^2 = a$ (при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$). Практически это означает, что для устранения знака корня нужно возвести обе части равенства в квадрат.

Дано равенство $\sqrt{625} = 25$. Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части равенства в квадрат: $(\sqrt{625})^2 = 25^2$. Так как операция возведения в квадрат является обратной к извлечению корня, левая часть упрощается до 625. Таким образом, мы получаем искомое равенство $625 = 25^2$.

Ответ: $25^2 = 625$.

Дано равенство $34 = \sqrt{1156}$. Возведем обе части этого равенства в квадрат: $34^2 = (\sqrt{1156})^2$. Упрощая правую часть, получаем равенство, не содержащее знака корня: $34^2 = 1156$.

Ответ: $34^2 = 1156$.

Дано равенство $43 = \sqrt{1849}$. Чтобы убрать знак радикала, возведем обе части равенства в квадрат: $43^2 = (\sqrt{1849})^2$. В результате получаем равенство, связывающее числа 43 и 1849 без знака корня: $43^2 = 1849$.

Ответ: $43^2 = 1849$.

Дано равенство $\sqrt{0,0441} = 0,21$. Чтобы записать его без знака корня, возводим в квадрат обе части: $(\sqrt{0,0441})^2 = 0,21^2$. Это приводит нас к равенству $0,0441 = 0,21^2$.

Ответ: $0,21^2 = 0,0441$.

231 Запишите соотношение между данными числами с помощью знака $\sqrt{}$:

а) $11^2 = 121$;

б) $41^2 = 1681$;

в) $27^2 = 729$;

г) $108^2 = 11664$.

Для решения этой задачи необходимо использовать определение арифметического квадратного корня. Если квадрат неотрицательного числа $a$ равен $b$, то число $a$ называется арифметическим квадратным корнем из $b$. Это записывается как $\sqrt{b} = a$. Иными словами, операция извлечения квадратного корня является обратной к операции возведения в квадрат для неотрицательных чисел.

а) Дано равенство $11^2 = 121$.
Здесь числом, которое возводят в квадрат, является $11$, а результатом — $121$. Так как $11$ является неотрицательным числом, мы можем применить определение квадратного корня. Соотношение между этими числами с помощью знака $\sqrt{}$ будет выглядеть так: $\sqrt{121} = 11$.
Ответ: $\sqrt{121} = 11$.

б) Дано равенство $41^2 = 1681$.
Аналогично предыдущему пункту, число $41$ является неотрицательным. Поэтому, если $41$ в квадрате равно $1681$, то квадратный корень из $1681$ равен $41$. Записываем соотношение: $\sqrt{1681} = 41$.
Ответ: $\sqrt{1681} = 41$.

в) Дано равенство $27^2 = 729$.
Число $27$ является неотрицательным. Следовательно, из равенства $27^2 = 729$ следует, что квадратный корень из $729$ равен $27$. Записываем соотношение: $\sqrt{729} = 27$.
Ответ: $\sqrt{729} = 27$.

г) Дано равенство $108^2 = 11 664$.
Число $108$ является неотрицательным. Применяя то же правило, получаем, что если квадрат $108$ равен $11 664$, то квадратный корень из $11 664$ равен $108$. Записываем соотношение: $\sqrt{11664} = 108$.
Ответ: $\sqrt{11664} = 108$.

232 Найдите t, если:

а) $\sqrt{t} = 9;$

б) $\sqrt{t} = 10;$

в) $\sqrt{t} = 12;$

г) $\sqrt{t} = 16.$

Чтобы найти значение переменной t в каждом из уравнений, необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого мы возводим в квадрат обе части уравнения. По определению, квадратный корень из числа t — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен t. Следовательно, $(\sqrt{t})^2 = t$.

а) Дано уравнение $\sqrt{t} = 9$.

Чтобы найти t, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{t})^2 = 9^2$

$t = 81$

Проверим: $\sqrt{81} = 9$. Равенство верное.

Ответ: 81

б) Дано уравнение $\sqrt{t} = 10$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти t:

$(\sqrt{t})^2 = 10^2$

$t = 100$

Проверим: $\sqrt{100} = 10$. Равенство верное.

Ответ: 100

в) Дано уравнение $\sqrt{t} = 12$.

Чтобы найти t, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{t})^2 = 12^2$

$t = 144$

Проверим: $\sqrt{144} = 12$. Равенство верное.

Ответ: 144

г) Дано уравнение $\sqrt{t} = 16$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти t:

$(\sqrt{t})^2 = 16^2$

$t = 256$

Проверим: $\sqrt{256} = 16$. Равенство верное.

Ответ: 256