Страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

221 Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, концентрация сахара в котором 25 %, чтобы получить сироп с концентрацией сахара 20 %?

Для решения этой задачи сначала определим массу чистого сахара в исходном сиропе. При добавлении воды масса сахара не изменяется, меняется только общая масса раствора и, как следствие, его концентрация.

1. Находим массу сахара в 180 г 25%-го сиропа.
Масса сахара ($m_{сахара}$) равна массе сиропа, умноженной на его концентрацию (выраженную в долях):
$m_{сахара} = 180 \text{ г} \times 25\% = 180 \text{ г} \times 0.25 = 45 \text{ г}.$

2. Теперь составим уравнение для нового раствора.
Пусть $x$ — это масса воды (в граммах), которую необходимо добавить. Тогда новая масса сиропа станет $(180 + x)$ г. Масса сахара в нем останется прежней — 45 г, а концентрация должна составить 20%.
Формула концентрации для нового раствора:
$\frac{\text{масса сахара}}{\text{новая масса сиропа}} = \text{новая концентрация}$
Подставим наши значения:
$\frac{45}{180 + x} = 20\% = 0.2$

3. Решим полученное уравнение относительно $x$:
$45 = 0.2 \times (180 + x)$
$45 = 36 + 0.2x$
$45 - 36 = 0.2x$
$9 = 0.2x$
$x = \frac{9}{0.2}$
$x = 45$

Таким образом, чтобы получить сироп с концентрацией сахара 20%, необходимо добавить 45 граммов воды.

Ответ: 45 г.

222 a) Приживаемость черенков гортензии составляет 70 %. Какое число укоренившихся черенков можно ожидать, если посажено 150 черенков?

б) Всхожесть семян пшеницы нового сорта составила 96 %. Какое число проросших семян следует ожидать, если на опытную делянку посеяно 1200 семян?

а) Чтобы найти ожидаемое число укоренившихся черенков, необходимо вычислить 70% от общего числа посаженных черенков, которое равно 150.
Сначала представим проценты в виде десятичной дроби:
$70\% = \frac{70}{100} = 0.7$
Теперь умножим общее количество черенков на полученную дробь, чтобы найти искомое число:
$150 \cdot 0.7 = 105$
Таким образом, можно ожидать, что укоренится 105 черенков.

Ответ: 105 укоренившихся черенков.

б) Чтобы определить ожидаемое число проросших семян, нужно найти 96% от общего числа посеянных семян, которое составляет 1200.
Переведем проценты в десятичную дробь:
$96\% = \frac{96}{100} = 0.96$
Теперь умножим общее количество семян на эту дробь:
$1200 \cdot 0.96 = 1152$
Следовательно, следует ожидать, что прорастет 1152 семени.

Ответ: 1152 проросших семени.

223 a) Вероятность выпадения орла при бросании монеты равна 0,5. Игорь провёл 500 экспериментов, в которых орёл выпал 238 раз. На сколько частота выпадения орла в опыте Игоря отличается от вероятности этого события?

б) По статистическим данным, в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,513. В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 479 девочек. На сколько частота рождения девочки в этом регионе в 2010 г. отличается от вероятности этого события?

а)

Вероятность выпадения орла, данная в условии, составляет $P = 0,5$.

Частота события — это отношение числа экспериментов, в которых это событие наступило, к общему числу проведённых экспериментов.

В опыте Игоря общее число экспериментов (бросков монеты) $N = 500$.

Число выпадений орла $K = 238$.

Вычислим частоту выпадения орла в опыте Игоря:
$f = \frac{K}{N} = \frac{238}{500} = \frac{476}{1000} = 0,476$

Теперь найдем, на сколько частота отличается от вероятности. Для этого вычтем одно значение из другого и возьмем модуль разности:
$|f - P| = |0,476 - 0,5| = |-0,024| = 0,024$

Ответ: 0,024.

б)

Сначала найдем теоретическую вероятность рождения девочки. События «родился мальчик» и «родилась девочка» являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1.

Вероятность рождения мальчика по статистическим данным: $P(М) = 0,513$.

Тогда вероятность рождения девочки:
$P(Д) = 1 - P(М) = 1 - 0,513 = 0,487$

Теперь найдем частоту рождения девочки в 2010 году. По условию, на $N = 1000$ родившихся младенцев пришлось $K = 479$ девочек.

Вычислим частоту рождения девочки:
$f(Д) = \frac{K}{N} = \frac{479}{1000} = 0,479$

Найдем, на сколько частота рождения девочки в 2010 году отличается от вероятности этого события:
$|f(Д) - P(Д)| = |0,479 - 0,487| = |-0,008| = 0,008$

Ответ: 0,008.