Страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

217 Решите уравнение:

а) $\frac{5x - 2}{3} - \frac{4x - 3}{5} = 6;$

б) $\frac{2x - 4}{3} + x = 7;$

в) $0.03x - 1 = 0.02(2x + 5);$

г) $0.7(x - 1) - 0.8(x + 3) = 0.1(x - 5).$

а) Исходное уравнение: $\frac{5x-2}{3} - \frac{4x-3}{5} = 6$.
Чтобы избавиться от дробей, приведем левую часть к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 5 равно 15. Умножим обе части уравнения на 15.
$15 \cdot \frac{5x-2}{3} - 15 \cdot \frac{4x-3}{5} = 15 \cdot 6$
$5(5x-2) - 3(4x-3) = 90$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй дробью.
$25x - 10 - 12x + 9 = 90$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.
$(25x - 12x) + (-10 + 9) = 90$
$13x - 1 = 90$
Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный.
$13x = 90 + 1$
$13x = 91$
Разделим обе части уравнения на 13.
$x = \frac{91}{13}$
$x = 7$
Ответ: 7.

б) Исходное уравнение: $\frac{2x-4}{3} + x = 7$.
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим каждый член уравнения на 3.
$3 \cdot \frac{2x-4}{3} + 3 \cdot x = 3 \cdot 7$
$2x - 4 + 3x = 21$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$(2x + 3x) - 4 = 21$
$5x - 4 = 21$
Перенесем -4 в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$5x = 21 + 4$
$5x = 25$
Разделим обе части на 5.
$x = \frac{25}{5}$
$x = 5$
Ответ: 5.

в) Исходное уравнение: $0,03x - 1 = 0,02(2x + 5)$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 100.
$100 \cdot (0,03x - 1) = 100 \cdot 0,02(2x + 5)$
$3x - 100 = 2(2x + 5)$
Раскроем скобки в правой части уравнения.
$3x - 100 = 4x + 10$
Соберем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $3x$ в правую часть, а 10 — в левую, изменив их знаки.
$-100 - 10 = 4x - 3x$
$-110 = x$
Ответ: -110.

г) Исходное уравнение: $0,7(x - 1) - 0,8(x + 3) = 0,1(x - 5)$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10.
$10 \cdot [0,7(x - 1) - 0,8(x + 3)] = 10 \cdot 0,1(x - 5)$
$7(x - 1) - 8(x + 3) = 1(x - 5)$
Раскроем все скобки.
$7x - 7 - 8x - 24 = x - 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части.
$(7x - 8x) + (-7 - 24) = x - 5$
$-x - 31 = x - 5$
Соберем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-x$ в правую часть, а $-5$ — в левую.
$-31 + 5 = x + x$
$-26 = 2x$
Разделим обе части уравнения на 2.
$x = \frac{-26}{2}$
$x = -13$
Ответ: -13.

218 Моторная лодка прошла по течению реки от одной деревни до другой. На обратном пути она сделала остановку, не дойдя до места отправления 12 км. До остановки она двигалась столько же времени, сколько у нее занял путь по течению. Чему равно расстояние между деревнями, если известно, что собственная скорость лодки $12 \text{ км/ч}$, а скорость течения реки $3 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $S$ — искомое расстояние между деревнями в километрах.

1. Нахождение скоростей движения лодки.
Собственная скорость лодки ($v_{л}$) равна 12 км/ч, а скорость течения реки ($v_{т}$) — 3 км/ч.
Скорость лодки при движении по течению реки вычисляется как сумма собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{по\;течению} = v_{л} + v_{т} = 12 + 3 = 15$ км/ч.
Скорость лодки при движении против течения реки вычисляется как разность собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{против\;течения} = v_{л} - v_{т} = 12 - 3 = 9$ км/ч.

2. Составление уравнения на основе времени движения.
Время, которое лодка затратила на путь по течению от одной деревни до другой (расстояние $S$), составляет:
$t_{по\;течению} = \frac{S}{v_{по\;течению}} = \frac{S}{15}$ часов.
На обратном пути лодка остановилась, не дойдя до места отправления 12 км. Следовательно, расстояние, которое она прошла против течения, равно $S - 12$ км.
Время, затраченное на этот путь, составляет:
$t_{против\;течения} = \frac{S - 12}{v_{против\;течения}} = \frac{S - 12}{9}$ часов.
Согласно условию задачи, время движения по течению равно времени движения на обратном пути до остановки:
$t_{по\;течению} = t_{против\;течения}$
Приравнивая выражения для времени, получаем уравнение:
$\frac{S}{15} = \frac{S - 12}{9}$

3. Решение уравнения.
Для решения данного уравнения найдем наименьшее общее кратное знаменателей 15 и 9. Оно равно 45. Умножим обе части уравнения на 45:
$45 \cdot \frac{S}{15} = 45 \cdot \frac{S - 12}{9}$
$3 \cdot S = 5 \cdot (S - 12)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$3S = 5S - 60$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $S$, в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$60 = 5S - 3S$
$60 = 2S$
Теперь найдем $S$, разделив обе части на 2:
$S = \frac{60}{2}$
$S = 30$
Таким образом, расстояние между деревнями составляет 30 км.

Ответ: 30 км.

219 а) Курьер доехал на велосипеде до почты и вернулся обратно другой дорогой, которая на $3 \text{ км}$ короче. До почты он ехал со скоростью $18 \text{ км/ч}$, а обратно — со скоростью $9 \text{ км/ч}$, и на весь путь у него ушло $3 \text{ ч}$. Найдите весь путь, который проделал курьер.

б) Из города в посёлок можно добраться по шоссе на автомобиле или по реке на катере. Путь по шоссе на $8 \text{ км}$ короче, чем по реке. Автомобиль доезжает до посёлка за $20 \text{ мин}$, а катер проходит расстояние от города до посёлка за $1 \text{ ч } 20 \text{ мин}$. Скорость автомобиля на $39 \text{ км/ч}$ больше скорости катера. Определите расстояние от города до посёлка по шоссе и по реке.

220 а) Клиент внёс в банк 8000 р. Часть этих денег он положил на вклад, по которому начисляется $8 \%$ годовых, а остальные — на вклад, по которому начисляется в год $6 \%$. Через год он получил с этих двух вкладов прибыль в 580 р. Сколько рублей он внёс на каждый вклад?

б) Клиент имел в банке счёт, по которому начислялось $6 \%$ годовых. После того как банк предложил новые виды вкладов, он снял с этого счёта все деньги. Из них 4000 р. он положил на вклад, по которому начисляется $8 \%$ годовых, а остальные деньги — на вклад с $9 \%$ годовых. В результате через год его доход оказался на 260 р. больше, чем он был бы по прежнему вкладу. Сколько всего денег внёс клиент на новые вклады?

а) Пусть $x$ рублей — это часть денег, которую клиент положил на вклад под 8 % годовых. Тогда на вклад под 6 % годовых он положил $(8000 - x)$ рублей.

Через год прибыль с первого вклада составила $0.08x$ рублей, а со второго — $0.06 \cdot (8000 - x)$ рублей.

Общая прибыль с двух вкладов составила 580 рублей. Составим и решим уравнение:

$0.08x + 0.06(8000 - x) = 580$

$0.08x + 480 - 0.06x = 580$

$0.02x = 580 - 480$

$0.02x = 100$

$x = 100 / 0.02$

$x = 5000$

Следовательно, на вклад под 8 % годовых клиент внёс 5000 рублей.

На вклад под 6 % годовых он внёс $8000 - 5000 = 3000$ рублей.

Ответ: 5000 рублей на вклад под 8 % и 3000 рублей на вклад под 6 %.

б) Пусть $S$ рублей — это общая сумма денег, которую клиент снял со старого счёта и внёс на новые вклады.

Если бы деньги остались на прежнем счёте, то годовой доход составил бы $0.06S$ рублей.

Клиент положил 4000 рублей на вклад под 8 % годовых, доход с которого за год составил $4000 \cdot 0.08 = 320$ рублей.

Оставшуюся сумму, $(S - 4000)$ рублей, он положил на вклад под 9 % годовых. Доход с этого вклада составил $0.09(S - 4000)$ рублей.

Общий доход с новых вкладов равен $320 + 0.09(S - 4000)$ рублей.

По условию, новый доход оказался на 260 рублей больше, чем доход по прежнему вкладу. Составим и решим уравнение:

$(320 + 0.09(S - 4000)) - 0.06S = 260$

$320 + 0.09S - 360 - 0.06S = 260$

$0.03S - 40 = 260$

$0.03S = 260 + 40$

$0.03S = 300$

$S = 300 / 0.03$

$S = 10000$

Таким образом, клиент внёс на новые вклады 10000 рублей.

Ответ: 10000 рублей.