Страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

195 Докажите:

если каждое из чисел $a$ и $b$ делится на число $c$, то и их разность $a-b$ делится на $c$;

если каждое из чисел $a-b$ и $b$ делится на число $c$, то и число $a$ делится на $c$.

Теперь у вас доказана теорема:

числа $a-b$ и $b$ имеют те же общие делители, что и числа $a$ и $b$.

если каждое из чисел a и b делится на число c, то и их разность a - b делится на c;

Пусть число a делится на c и число b делится на c. По определению делимости, это означает, что существуют такие целые числа k и m, для которых выполняются равенства: $a = k \cdot c$ и $b = m \cdot c$. Рассмотрим их разность $a - b$. Подставив выражения для a и b, получим: $a - b = k \cdot c - m \cdot c$. Теперь вынесем общий множитель c за скобки: $a - b = (k - m) \cdot c$. Поскольку k и m — целые числа, их разность $(k - m)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как $p$. Тогда получаем $a - b = p \cdot c$. Согласно определению делимости, это означает, что разность $a - b$ делится на c. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

если каждое из чисел a - b и b делится на число c, то и число a делится на c.

Пусть число $a - b$ делится на c и число b также делится на c. По определению делимости, это означает, что существуют такие целые числа n и q, для которых выполняются равенства: $a - b = n \cdot c$ и $b = q \cdot c$. Выразим число a через сумму: $a = (a - b) + b$. Подставим в это равенство известные нам выражения: $a = n \cdot c + q \cdot c$. Теперь вынесем общий множитель c за скобки: $a = (n + q) \cdot c$. Поскольку n и q — целые числа, их сумма $(n + q)$ также является целым числом. Обозначим это целое число как r. Тогда получаем $a = r \cdot c$. Согласно определению делимости, это означает, что число a делится на c. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

Эти два доказанных утверждения вместе доказывают указанную в задаче теорему: числа $a - b$ и $b$ имеют те же общие делители, что и числа $a$ и $b$.

Это следует из того, что:
1. Любой общий делитель c чисел a и b, согласно первому доказанному пункту, является делителем разности $a - b$, и, следовательно, является общим делителем для чисел $a - b$ и b.
2. Любой общий делитель c чисел $a - b$ и b, согласно второму доказанному пункту, является делителем суммы $(a-b)+b=a$, и, следовательно, является общим делителем для чисел a и b.

Таким образом, множество всех общих делителей для пары чисел $(a, b)$ в точности совпадает с множеством всех общих делителей для пары чисел $(a - b, b)$.

196 При каких натуральных значениях n можно сократить дробь:

a) $ \frac{2n+1}{n-1} $;

б) $ \frac{4n+3}{3n-1} $?

а)

Дробь $\frac{2n+1}{n-1}$ можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Пусть $d$ – их общий делитель, $d = \text{НОД}(2n+1, n-1)$.

Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя (алгоритм Евклида):

$\text{НОД}(2n+1, n-1) = \text{НОД}(2n+1 - 2(n-1), n-1)$

Выполним преобразование в первом аргументе:

$2n+1 - 2(n-1) = 2n+1 - 2n + 2 = 3$

Таким образом, $\text{НОД}(2n+1, n-1) = \text{НОД}(3, n-1)$.

Дробь сократима, если этот делитель больше 1. Поскольку 3 – простое число, его делителями являются только 1 и 3. Значит, для сократимости дроби необходимо, чтобы $\text{НОД}(3, n-1) = 3$.

Это условие выполняется, если $n-1$ делится на 3. То есть, $n-1$ должно быть кратно 3. Запишем это в виде формулы:

$n-1 = 3k$, где $k$ – целое число.

Отсюда $n = 3k+1$.

По условию, $n$ – натуральное число. Также знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $n-1 \neq 0$, следовательно, $n \neq 1$.

Если $k=0$, то $n=1$, что недопустимо.

Значит, $k$ должно быть натуральным числом ($k \in \{1, 2, 3, ...\}$).

При $k=1$, $n=4$. Проверка: $\frac{2(4)+1}{4-1} = \frac{9}{3}$. Дробь сократима.

При $k=2$, $n=7$. Проверка: $\frac{2(7)+1}{7-1} = \frac{15}{6}$. Дробь сократима.

Ответ: Дробь можно сократить при натуральных $n$ вида $n = 3k+1$, где $k$ – любое натуральное число ($k \geq 1$).

б)

Рассмотрим дробь $\frac{4n+3}{3n-1}$. Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель $d > 1$.

Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя, используя алгоритм Евклида: $d = \text{НОД}(4n+3, 3n-1)$.

Если $d$ делит $4n+3$ и $3n-1$, то $d$ делит и их линейные комбинации. Умножим первое выражение на 3, а второе на 4, чтобы избавиться от $n$ при вычитании:

$3(4n+3) = 12n+9$

$4(3n-1) = 12n-4$

Поскольку $d$ делит $12n+9$ и $12n-4$, он должен делить и их разность:

$d$ делит $(12n+9) - (12n-4)$

$d$ делит $12n+9 - 12n+4$

$d$ делит $13$

Число 13 – простое, его делители – 1 и 13. Для того чтобы дробь была сократимой, их общий делитель $d$ должен быть больше 1. Следовательно, $d=13$.

Это означает, что и числитель $4n+3$, и знаменатель $3n-1$ должны делиться на 13.

Проверим, при каких $n$ знаменатель $3n-1$ делится на 13:

$3n-1 = 13k$ для некоторого целого $k$.

$3n = 13k+1$

Это означает, что $3n \equiv 1 \pmod{13}$. Чтобы найти $n$, нужно умножить обе части сравнения на число, обратное к 3 по модулю 13. Найдем это число. $3 \times 9 = 27 = 2 \times 13 + 1$, значит, $3 \times 9 \equiv 1 \pmod{13}$. Обратное число – 9.

$9 \times (3n) \equiv 9 \times 1 \pmod{13}$

$27n \equiv 9 \pmod{13}$

$n \equiv 9 \pmod{13}$

Таким образом, $n$ должно иметь вид $n = 13m+9$, где $m$ – целое число.

Поскольку $n$ должно быть натуральным, $13m+9 \ge 1$. Это выполняется при $m \ge 0$.

Теперь нужно убедиться, что при таких $n$ числитель $4n+3$ также делится на 13. Подставим $n=13m+9$ в выражение $4n+3$:

$4(13m+9)+3 = 52m + 36 + 3 = 52m + 39 = 13(4m+3)$.

Выражение $13(4m+3)$ очевидно делится на 13. Следовательно, при всех натуральных $n$ вида $13m+9$ (где $m=0, 1, 2, ...$) дробь сократима (на 13).

Ответ: Дробь можно сократить при натуральных $n$ вида $n = 13m+9$, где $m$ – любое целое неотрицательное число ($m \geq 0$).

197 При каких натуральных значениях n можно сократить дробь:

a) $ \frac{3n+1}{10} $;

б) $ \frac{5n+3}{4} $;

в) $ \frac{4n+2}{5} $?

а) Чтобы дробь $\frac{3n+1}{10}$ можно было сократить, ее числитель $3n+1$ и знаменатель $10$ должны иметь общий делитель, отличный от 1. Простые делители знаменателя $10$ — это 2 и 5. Следовательно, дробь сократима в том случае, если числитель $3n+1$ делится нацело на 2 или на 5.

1. Выясним, при каких $n$ числитель $3n+1$ делится на 2. Для этого выражение $3n+1$ должно быть четным числом. Это можно записать с помощью сравнения по модулю 2: $3n+1 \equiv 0 \pmod{2}$ Поскольку $3 \equiv 1 \pmod{2}$, сравнение упрощается: $n+1 \equiv 0 \pmod{2}$ $n \equiv -1 \pmod{2}$ или $n \equiv 1 \pmod{2}$ Это значит, что $n$ должно быть нечетным числом. Если $n$ — нечетное, то $3n$ — нечетное, а $3n+1$ — четное. Таким образом, при любом нечетном $n$ дробь можно сократить на 2.

2. Выясним, при каких $n$ числитель $3n+1$ делится на 5. Запишем условие делимости с помощью сравнения по модулю 5: $3n+1 \equiv 0 \pmod{5}$ $3n \equiv -1 \pmod{5}$ или $3n \equiv 4 \pmod{5}$ Чтобы найти $n$, умножим обе части сравнения на число, обратное к 3 по модулю 5. Таким числом является 2, так как $3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$. $2 \times (3n) \equiv 2 \times 4 \pmod{5}$ $6n \equiv 8 \pmod{5}$ $n \equiv 3 \pmod{5}$ Это значит, что $n$ при делении на 5 должно давать в остатке 3. Например, $n = 3, 8, 13, \dots$. При таких значениях $n$ числитель делится на 5, и дробь можно сократить.

Дробь можно сократить, если выполняется хотя бы одно из двух условий: $n$ — нечетное, или $n$ дает остаток 3 при делении на 5. Проанализируем эти условия с точки зрения последней цифры числа $n$:

• Если $n$ нечетное, его последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9. Во всех этих случаях дробь сократима на 2.
• Если $n$ четное, его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. В этом случае дробь не сокращается на 2. Проверим, для каких из них выполняется второе условие ($n \equiv 3 \pmod{5}$):
  • Последняя цифра 0: $n \equiv 0 \pmod{5}$ — не подходит.
  • Последняя цифра 2: $n \equiv 2 \pmod{5}$ — не подходит.
  • Последняя цифра 4: $n \equiv 4 \pmod{5}$ — не подходит.
  • Последняя цифра 6: $n \equiv 1 \pmod{5}$ — не подходит.
  • Последняя цифра 8: $n \equiv 3 \pmod{5}$ — подходит. В этом случае дробь сократима на 5.

Таким образом, дробь можно сократить при всех натуральных $n$, последняя цифра которых не 0, 2, 4 или 6.

Ответ: при всех натуральных $n$, последняя цифра которых не равна 0, 2, 4 или 6.

б) Чтобы дробь $\frac{5n+3}{4}$ можно было сократить, ее числитель $5n+3$ должен иметь общий делитель со знаменателем 4, больший 1. Делители числа 4, большие 1, — это 2 и 4. Значит, для сократимости дроби достаточно, чтобы числитель $5n+3$ был четным числом, то есть делился на 2.

Запишем это условие в виде сравнения по модулю 2: $5n+3 \equiv 0 \pmod{2}$ Так как $5 \equiv 1 \pmod{2}$ и $3 \equiv 1 \pmod{2}$, получаем: $n+1 \equiv 0 \pmod{2}$ $n \equiv -1 \pmod{2}$ или $n \equiv 1 \pmod{2}$ Это означает, что $n$ должно быть нечетным натуральным числом. Если $n$ — нечетное, то $5n$ — тоже нечетное, а сумма двух нечетных чисел ($5n$ и 3) — четное число. Следовательно, при любом нечетном $n$ числитель $5n+3$ будет делиться на 2, и дробь можно будет сократить.

Ответ: при любых нечетных натуральных значениях $n$.

в) Чтобы дробь $\frac{4n+2}{5}$ можно было сократить, ее числитель $4n+2$ и знаменатель 5 должны иметь общий делитель, больший 1. Так как знаменатель 5 — простое число, его единственный делитель, больший 1, это само число 5.

Следовательно, дробь можно сократить тогда и только тогда, когда числитель $4n+2$ делится на 5. Запишем это условие с помощью сравнения по модулю 5: $4n+2 \equiv 0 \pmod{5}$ $4n \equiv -2 \pmod{5}$ или $4n \equiv 3 \pmod{5}$ Чтобы найти $n$, умножим обе части сравнения на число, обратное к 4 по модулю 5. Таким числом является 4, так как $4 \times 4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$. $4 \times (4n) \equiv 4 \times 3 \pmod{5}$ $16n \equiv 12 \pmod{5}$ $n \equiv 2 \pmod{5}$ Это означает, что натуральное число $n$ при делении на 5 должно давать в остатке 2. Такие числа можно записать формулой $n = 5k+2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$).

Ответ: при натуральных значениях $n$, которые при делении на 5 дают в остатке 2 (например, 2, 7, 12, 17, ...).

198 Найдите значение дроби при заданных значениях переменных:

а) $\frac{cxy}{c(x-y)}$ при $c = 1,5$, $x = 10$ и $y = -2$;

б) $\frac{x(a-b)}{a^2b}$ при $a = \frac{2}{3}$, $b = \frac{3}{4}$ и $x = \frac{1}{2}$.

а)

Дана дробь $\frac{cxy}{c(x-y)}$ и значения переменных $c = 1,5$, $x = 10$ и $y = -2$.

Для начала можно упростить выражение, так как в числителе и знаменателе есть общий множитель $c$. Поскольку $c = 1,5 \ne 0$, мы можем сократить дробь на $c$:

$\frac{cxy}{c(x-y)} = \frac{xy}{x-y}$

Теперь подставим значения переменных $x = 10$ и $y = -2$ в упрощенное выражение:

$\frac{10 \cdot (-2)}{10 - (-2)} = \frac{-20}{10 + 2} = \frac{-20}{12}$

Сократим полученную дробь на 4:

$\frac{-20}{12} = \frac{-5 \cdot 4}{3 \cdot 4} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}$

б)

Дана дробь $\frac{x(a-b)}{a^2b}$ и значения переменных $a = \frac{2}{3}$, $b = \frac{3}{4}$ и $x = \frac{1}{2}$.

Подставим значения переменных в выражение. Вычислим по частям.

1. Найдем значение выражения в скобках в числителе:

$a - b = \frac{2}{3} - \frac{3}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{8}{12} - \frac{9}{12} = -\frac{1}{12}$

2. Найдем значение всего числителя:

$x(a-b) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{12}) = -\frac{1}{24}$

3. Найдем значение знаменателя:

$a^2b = (\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4}$

Сократим множитель 4 в числителе и знаменателе:

$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

4. Найдем значение всей дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{-1/24}{1/3} = -\frac{1}{24} \div \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} \cdot \frac{3}{1} = -\frac{3}{24}$

Сократим полученную дробь на 3:

$-\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

199 Найдите значение выражения, если $a = 1, b = 2, c = 3, x = 10,$

$y = 0, z = \frac{1}{2}$:

а) $\frac{a(bc^2 - xz)}{b}$,

Б) $\frac{ab - bc - ax + ay}{a + b + c}$,

В) $\frac{(a - x)(b - y)(c - z)}{a^2 + b^2}$,

Г) $\frac{x^2 + y^2 + z^2}{(a - b)(b - c)}$.

Для решения задачи необходимо подставить данные значения переменных $a = 1, b = 2, c = 3, x = 10, y = 0, z = \frac{1}{2}$ в каждое из выражений.

а) Найдем значение выражения $\frac{a(bc^2 - xz)}{b}$.
Подставим значения переменных в выражение:
$\frac{1 \cdot (2 \cdot 3^2 - 10 \cdot \frac{1}{2})}{2}$
Выполним вычисления в скобках. Сначала возведение в степень, затем умножение:
$2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$
$10 \cdot \frac{1}{2} = 5$
Теперь выполним вычитание в скобках:
$18 - 5 = 13$
Подставим полученное значение обратно в дробь:
$\frac{1 \cdot 13}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$
Ответ: $6.5$

б) Найдем значение выражения $\frac{ab - bc - ax + ay}{a + b + c}$.
Сначала преобразуем числитель, сгруппировав слагаемые:
$ab - bc - ax + ay = (ab - bc) + (-ax + ay) = b(a - c) - a(x - y)$
Теперь подставим значения в преобразованный числитель:
$2(1 - 3) - 1(10 - 0) = 2(-2) - 1(10) = -4 - 10 = -14$
Вычислим знаменатель:
$a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6$
Найдем значение дроби:
$\frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$
Ответ: $-\frac{7}{3}$

в) Найдем значение выражения $\frac{(a - x)(b - y)(c - z)}{a^2 + b^2}$.
Вычислим значение каждой скобки в числителе:
$a - x = 1 - 10 = -9$
$b - y = 2 - 0 = 2$
$c - z = 3 - \frac{1}{2} = 2.5$
Перемножим полученные значения:
$-9 \cdot 2 \cdot 2.5 = -18 \cdot 2.5 = -45$
Теперь вычислим знаменатель:
$a^2 + b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
Найдем значение дроби:
$\frac{-45}{5} = -9$
Ответ: $-9$

г) Найдем значение выражения $\frac{x^2 + y^2 + z^2}{(a - b)(b - c)}$.
Вычислим числитель, подставив значения переменных:
$x^2 + y^2 + z^2 = 10^2 + 0^2 + (\frac{1}{2})^2 = 100 + 0 + \frac{1}{4} = 100\frac{1}{4} = 100.25$
Вычислим знаменатель:
$(a - b)(b - c) = (1 - 2)(2 - 3) = (-1)(-1) = 1$
Найдем значение дроби:
$\frac{100.25}{1} = 100.25$
Ответ: $100.25$

200 Найдите значение дроби при заданных значениях переменной:

а) $\frac{x^2-25}{2x}$ при $x = -5$, при $x = 5$;

б) $\frac{y(y+6)}{y-4}$ при $y = 0$, при $y = -6$.

а) Чтобы найти значение дроби при заданных значениях переменной, необходимо подставить эти значения в выражение и выполнить вычисления.

Дана дробь: $\frac{x^2-25}{2x}$.

1. Вычислим значение дроби при $x = -5$:

$\frac{(-5)^2-25}{2 \cdot (-5)} = \frac{25-25}{-10} = \frac{0}{-10} = 0$.

2. Вычислим значение дроби при $x = 5$:

$\frac{5^2-25}{2 \cdot 5} = \frac{25-25}{10} = \frac{0}{10} = 0$.

Ответ: при $x = -5$ значение дроби равно 0; при $x = 5$ значение дроби равно 0.

б) Чтобы найти значение дроби при заданных значениях переменной, необходимо подставить эти значения в выражение и выполнить вычисления.

Дана дробь: $\frac{y(y+6)}{y-4}$.

1. Вычислим значение дроби при $y = 0$:

$\frac{0 \cdot (0+6)}{0-4} = \frac{0 \cdot 6}{-4} = \frac{0}{-4} = 0$.

2. Вычислим значение дроби при $y = -6$:

$\frac{-6 \cdot (-6+6)}{-6-4} = \frac{-6 \cdot 0}{-10} = \frac{0}{-10} = 0$.

Ответ: при $y = 0$ значение дроби равно 0; при $y = -6$ значение дроби равно 0.

201 Найдите значения переменной, при которых значение дроби равно нулю:

а) $\frac{5a - 4}{a + 1}$;

б) $\frac{2m^2}{m - 2}$;

в) $\frac{(n - 6)(2n + 10)}{6n^2}$;

г) $\frac{b(b + 2)(3b - 6)}{b - 10}$.

а) Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} 5a - 4 = 0 \\ a + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$5a = 4$

$a = \frac{4}{5}$

$a = 0,8$

Теперь проверим второе условие (область допустимых значений):

$a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$

Поскольку $0,8 \neq -1$, найденное значение переменной является решением.

Ответ: $a = 0,8$.

б) Дробь $\frac{2m^2}{m-2}$ равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

$\begin{cases} 2m^2 = 0 \\ m - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим уравнение для числителя:

$2m^2 = 0$

$m^2 = 0$

$m = 0$

Проверим условие для знаменателя:

$m - 2 \neq 0 \implies m \neq 2$

Значение $m=0$ удовлетворяет условию $m \neq 2$, следовательно, является решением.

Ответ: $m = 0$.

в) Дробь $\frac{(n-6)(2n+10)}{6n^2}$ равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$\begin{cases} (n-6)(2n+10) = 0 \\ 6n^2 \neq 0 \end{cases}$

Решим уравнение для числителя. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$n - 6 = 0$ или $2n + 10 = 0$

Из первого уравнения получаем $n_1 = 6$.

Из второго уравнения: $2n = -10$, откуда $n_2 = -5$.

Проверим условие для знаменателя:

$6n^2 \neq 0 \implies n^2 \neq 0 \implies n \neq 0$

Оба найденных корня, $n=6$ и $n=-5$, удовлетворяют условию $n \neq 0$. Следовательно, оба являются решениями.

Ответ: $n = 6$; $n = -5$.

г) Дробь $\frac{b(b+2)(3b-6)}{b-10}$ равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$\begin{cases} b(b+2)(3b-6) = 0 \\ b-10 \neq 0 \end{cases}$

Решим уравнение для числителя. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$b = 0$

или

$b + 2 = 0 \implies b = -2$

или

$3b - 6 = 0 \implies 3b = 6 \implies b = 2$

Таким образом, числитель обращается в ноль при $b=0$, $b=-2$ и $b=2$.

Проверим условие для знаменателя:

$b - 10 \neq 0 \implies b \neq 10$

Все три найденных значения ($0, -2, 2$) не равны $10$, поэтому все они являются решениями.

Ответ: $b = -2$; $b = 0$; $b = 2$.